[論文レビュー] Semiorthogonal decompositions of stable pair moduli spaces via d-critical flips

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|May 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、曲線類が既約であるCalabi-Yau 3-fold上のPandharipande-Thomas (PT) 安定ペアのモジュライ空間の半直交分解（SOD）を、導来代数幾何におけるd-臨界の入れ替えを用いて確立する。モジュライ空間の非特異性を仮定すると、PTモジュライ空間上の連接層の導来圏に対する完全なSODを証明し、PT不変量の壁越え公式のカテゴリフィケーションを提供するとともに、Bondal-Orlov/Kawamata D/K同値性予想のd-臨界版を提示する。

ABSTRACT

We show the existence of semiorthogonal decompositions (SOD) of Pandharipande-Thomas (PT) stable pair moduli spaces on Calabi-Yau 3-folds with irreducible curve classes, assuming relevant moduli spaces are non-singular. The above result is motivated by categorifications of wall-crossing formula of PT invariants in the derived category, and also a d-critical analogue of Bondal-Orlov, Kawamata's D/K equivalence conjecture. We also give SOD of stable pair moduli spaces on K3 surfaces, which categorifies Kawai-Yoshioka's formula proving Katz-Klemm-Vafa formula for PT invariants on K3 surfaces with irreducible curve classes.

研究の動機と目的

• 曲線類が既約であるCalabi-Yau 3-fold上のPT安定ペアモジュライ空間の半直交分解（SOD）を確立すること。
• 導来圏の同値性と曲線数え上げ不変量を結ぶ、PT不変量の壁越え公式のカテゴリフィケーションを提供すること。
• 導来圏の連接層の文脈において、Bondal-OrlovおよびKawamata D/K同値性予想のd-臨界版を提示すること。
• SODの結果をK3表面および非コンパクトなCalabi-Yau 3-foldへと拡張し、相対ヒルベルトスキームや曲線の対称積を含むこと。

提案手法

• d-臨界の被覆幾何学、特にd-臨界単純入れ替えを用いて、PTモジュライ空間の導来圏を分析する。
• 導来因子分解圏とフーリエ＝ムーカイ関手の枠組みを適用し、モジュライ空間の導来圏間の完全全単射埋め込みを構成する。
• CY 3-foldの導来圏における壁越えの図式を用い、写像π⁺およびπ⁻を介して安定ペアモジュライ空間を関連付ける。
• 壁越え図式のファイバー積の構造を用いて、フーリエ＝ムーカイ関手のカーネルを定義し、SODを構成する。
• モジュライ空間上でのπ⁺-全般的なラインバンドルの存在に依拠し、ラインバンドルによるテンソル積を用いて関手Υⁱ_Pを定義する。
• d-臨界幾何学の結果、特にd-臨界の入れ替えの理論と対称的障害理論の構造を用い、非特異性の仮定のもとでSODの妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線類が既約であるCalabi-Yau 3fold上のPT安定ペアモジュライ空間の導来圏は、半直交分解をもつか？
• RQ2 PT不変量の壁越え公式は、導来圏同値性およびSODを用いてカテゴリフィケーション可能か？
• RQ3 安定ペアモジュライ空間の文脈において、Bondal-OrlovおよびKawamata D/K同値性予想のd-臨界版は存在するか？
• RQ4 このようなSODは、K3表面または局所的Calabi-Yau 3fold上の相対ヒルベルトスキームや曲線の対称積にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 曲線類$\beta$が既約であるCalabi-Yau 3fold上のPTモジュライ空間$P_n(X,\beta)$の導来圏$D^b(P_n(X,\beta))$は、$U_n(X,\beta)$が非特異である限り、半直交分解をもつ。
• SODは$D^b(P_n(X,\beta)) = \langle \mathrm{Im} \Upsilon_P^{-n+1}, \ldots, \mathrm{Im} \Upsilon_P^0, \mathrm{Im} \Phi_P \rangle$で与えられ、ここで$\Phi_P$は完全全単射フーリエ＝ムーカイ関手であり、$\Upsilon_P^i$は引き戻しと全般的なラインバンドルによるテンソル積を用いて定義される完全全単射関手である。
• SODは、Hochschildホモロジーのオイラー標数をとることで、壁越え公式$P_{n,\beta} - P_{-n,\beta} = (-1)^{n-1} n N_{n,\beta}$をカテゴリフィケーションする。
• X = \mathrm{Tot}_S(K_S)で$-K_S \cdot \beta > 0$のとき、SODはS上の完全線形システム上の普遍曲線の点の相対ヒルベルトスキームに適用され、ヒルベルトスキームの導来分解をもたらす。
• X = \mathrm{Tot}_C(L_1 \oplus L_2)で$L_1 \otimes L_2 \cong \omega_C$のとき、SODは$D^b(C^{[n+g-1]}) = \langle D^b(J_C), \ldots, D^b(J_C) \text{ (n回)}, D^b(C^{[-n+g-1]}) \rangle$をもたらし、これは曲線の対称積に関する新しい結果である。
• SODの構造は、$C \times J_C$へのベース変換のもとでも保存され、モジュライ空間とファイバー積間の同型はd-臨界構造と整合的であることが確認され、d-臨界の入れ替えフレームワークの妥当性が裏付けられる。