[論文レビュー] Semipositivity theorems for moduli problems

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、混合Hodge理論およびHodgeバンドル分野における最近の進展を活用して、安定多様体のモジュライ函手の半正定性定理を確立し、Kollárの意味でのモジュライ函手が半正定であることを証明する。この結果により、Kollárの特異性基準が完成し、安定多様体の粗いモジュライ空間の任意の閉かつ完全な部分空間が射影的であることが示され、特に次元≥3の場合の射影性結果が拡張される。

ABSTRACT

We prove some semipositivity theorems for singular varieties coming from graded polarizable admissible variations of mixed Hodge structure. As an application, we obtain that the moduli functor of stable varieties is semipositive in the sense of Kollár. This completes Kollár's projectivity criterion for the moduli spaces of higher-dimensional stable varieties.

研究の動機と目的

• グレーディング付き極小的適当な混合Hodge構造の変動から生じる特異多様体を含むモジュライ問題の半正定性定理を確立すること。
• Kollárの意味での安定多様体のモジュライ函手が半正定であることを証明し、彼の射影性基準を完成させること。
• 以前は未知であった次元≥3の安定$n$-foldのモジュライ空間の射影性を拡張すること。
• 半対数正則特異点をもつファイブレーションにおける canonical sheaf の直接像の半正定性のHodge理論的基礎を提供すること。

提案手法

• 文献[FF1]および[FFS]におけるHodgeバンドルの半正定性定理を、半対数正則特異点をもつファイブレーションに適用する。
• コhomologyにコンパクトな台を持つ混合Hodge構造の理論を用いて、直接像層のnef性を分析する。
• 有限準同型による基底変換技術を用いて、滑らかで射影的な曲線上の層のnef性を検証する。
• 適切な特異点の仮定と canonical sheaf の生成性のもとで、$f_*\omega_{X/C}^{[m]}$ がすべての $m \geq 1$ に対してnefであるという事実を用いる。
• Kollárの射影性基準を適用するため、半正定性条件 $f_*\omega^{[mm_0]}_{X/C}$ がすべての $m \geq 1$ に対してnefであることを確認する。
• 層 $\mathcal{O}_X(k(K_{X/C} + \Delta))$ が $f$-生成であるという事実に依拠し、tensor冪のnef性に関する帰納的議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n \geq 3$ の安定多様体のモジュライ函手は、Kollárの意味で半正定であるか？
• RQ2 半対数正則特異点をもつファイブレーションに対して、Hodge理論的手法を用いて canonical sheaf の直接像の半正定性を確立できるか？
• RQ3 Kollárの射影性基準は、表面のケースを超えて、安定多様体の粗いモジュライ空間にも適用可能か？
• RQ4 もし $\omega_{X/C}^{[k]}$ が局所的に自由で、$f$-生成であれば、$f_*\omega_{X/C}^{[m]}$ のnef性を証明できるか？
• RQ5 固定されたヒルベルト関数 $H$ をもつ安定多様体のモジュライ空間は、ファイバーが特異点をもつ場合でも射影的か？

主な発見

• 安定多様体のモジュライ函手 $\mathcal{M}^{\text{stable}}$ は、Kollárの意味で半正定である。すなわち、すべての $m \geq 1$ に対して $f_*\omega^{[mm_0]}_{X/C}$ がnefであり、ある固定された $m_0$ が存在する。
• 固定されたヒルベルト関数 $H$ をもつ安定多様体の粗いモジュライ空間は射影的であり、Kollárの射影性基準が完成する。
• この結果は、以前の議論が表面に限られていたことから、次元 $n \geq 3$ の安定$n$-foldに対して初めてのものである。
• 半正定性定理は、$S_2$ を満たし、余次元1で正則交差をもつ、かつ基底曲線のZariski開集合上で半対数正則特異点をもつ、等次元多様体に対して成り立つ。
• $f_*\omega_{X/C}^{[m]}$ のnef性は、有限準同型による基底変換のもとで保存され、これにより全体的なnef性が保証される。
• 証明は、単純な正則交差対に対する $f_*\omega_{X/C}(D)$ のHodge理論的半正定性に依拠し、特異ファイブレーションに一般化されている。