[論文レビュー] Semistable modules over Lie algebroids in positive characteristic

Adrián Langer|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、正標数におけるリー代数的バンドル上の加群のモジュライ空間に対して、Langton型の定理を確立し、Simpsonによるgr-安定なGriffiths横断的フィルトレーションの構成を一般化する。正標数における持ち上げ可能多様体上のHodge層系の半安定系が強く半安定であることを証明し、Lan-Sheng-Zuoの予想をすべてのランクについて確認する。

ABSTRACT

We study Lie algebroids in positive characteristic and moduli spaces of their modules. In particular, we show a Langton's type theorem for the corresponding moduli spaces. We relate Langton's construction to Simpson's construction of gr-semistable Griffiths transverse filtration. We use it to prove a recent conjecture of Lan-Sheng-Zuo that semistable systems of Hodge sheaves on liftable varieties in positive characteristic are strongly semistable.

研究の動機と目的

• 正標数におけるリー代数的バンドル上の加群の相対的モジュライ空間の一般枠組みを構築すること。
• リー代数的バンドル加群の設定において、半安定退化に関するLangtonの定理を拡張すること。
• Simpsonのgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションの帰納的構成をReesの構成と関連づけ、終了性を保証すること。
• Lan-Sheng-Zuoの予想、すなわち正標数における持ち上げ可能多様体上のHodge層系の半安定系が強く半安定であることを証明すること。
• リー代数的バンドル上の加群に、標準的なgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションを構成し、ネーター的条件のもとで強い半安定性を示すこと。

提案手法

• Ekedahlの1-葉層を一般化するため、制限付きリー代数的バンドルを導入し、それら上の加群に対して$p$-曲率写像を定義する。
• Reesの構成を用いて、モジュライ空間上の$p$-曲率準同型の変形をHitchin準同型へ行う。
• リー代数的バンドル加群のモジュライ空間にLangton型定理を適用し、半安定極限の存在を保証する。
• Simpsonのgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションの帰納的構成を用い、Reesの構成と比較することで、終了性を証明する。
• 逆Cartier変換$C_{{ m ilde{X}/S}}^{-1}$を用いて、$p$-曲率が零化的であるHiggs加群と接続を関連付ける。
• Ogus-Vologodskyによる$p$-曲率が零化的な接続とHiggs加群のカテゴリの同倣を活用し、半安定性を移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数におけるリー代数的バンドル上の加群のモジュライ空間に対して、Langton型の定理が成立するか？
• RQ2 Simpsonのgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションの帰納的構成が、Reesの構成を用いて終了することが示せるか？
• RQ3 正標数における持ち上げ可能多様体上のHodge層系の半安定系は、強く半安定か？
• RQ4 リー代数的バンドル加群に標準的なgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションが存在する場合、零化的条件下で強い半安定性が導かれるか？
• RQ5 逆Cartier変換は、Higgs加群と$p$-曲率が零化的な接続の文脈において、半安定性とどのように作用するか？

主な発見

• 正標数におけるリー代数的バンドル上の加群のモジュライ空間に対して、Langton型定理が確立され、退化のもとで半安定極限の存在が保証された。
• Simpsonの方法によるgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションの帰納的構成が終了することが示され、その有効性が確認された。
• リー代数的バンドル上の加群に、標準的なgr-半安定なGriffiths横断的フィルトレーションが構成され、半安定性解析の統一的枠組みが提供された。
• Lan-Sheng-Zuoの予想が証明された：正標数における持ち上げ可能多様体上のHodge層系の半安定系は、すべてのランクについて強く半安定である。
• 逆Cartier変換$C_{{ m ilde{X}/S}}^{-1}$は、$p-1$以下のレベルにおける$p$-曲率が零化的なHiggs加群と接続の間で、勾配の半安定性を保存する。
• Ogus-Vologodskyによる$p$-曲率が零化的な接続とHiggs加群のカテゴリ同値を用いて半安定性を移し、主要結果が得られた。