[論文レビュー] Sensitivity analysis and incompressible Navier-Stokes-Poisson limit of Vlasov-Poisson-Boltzmann equations with uncertainty

Ning Jiang, Xu Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期データおよび衝突カーネルにおけるランダムな不確実性を伴うVlasov-Poisson-Boltzmann方程式の、可 compressible Navier-Stokes-Poisson極限を、hypocoercivityに基づく感度解析を用いて確立する。これは、Hilbert展開に依存せずに、最初に厳密で定量的な収束速度を示すものであり、決定論的流体極限を、運動論的・流体的初期データを併せ持つランダムな場合にまで拡張するものである。

ABSTRACT

For the Vlasov-Poisson-Boltzmann equations with random uncertainties from the initial data or collision kernels, we proved the sensitivity analysis and energy estimates uniformly with respect to the Knudsen number in the diffusive scaling using hypocoercivity method. As a consequence, we also justified the incompressible Navier-Stokes-Poisson limit with random inputs. In particular, for the first time, we obtain the precise convergence rate {\em without} employing any results based on Hilbert expansion. We not only generalized the previous deterministic Navier-Stokes-Poisson limits to random initial data case, also improve the previous uncertainty quantification results to the case where the initial data include both kinetic and fluid parts.

研究の動機と目的

• 微小スケールでのVlasov-Poisson-Boltzmann系の可 compressible Navier-Stokes-Poisson極限を、初期データにランダムな入力がある場合に正当化すること。
• Knudsen数に一様なエネルギー推定を用いて、初期データおよび衝突カーネルにおける不確実性に対する感度解析を実施すること。
• 運動論的および流体的成分を含む両方の初期データを含む、ランダムな初期データに対する決定論的Navier-Stokes-Poisson極限の一般化。
• Hilbert展開手法に依存せずに、流体極限への明確な収束速度を確立すること。

提案手法

• Knudsen数εに一様なエネルギー推定を導出するため、hypocoercivity法を用いる。
• 線形化方程式を用いて、初期データおよび衝突カーネルにおけるランダム摂動に対する解の感度を分析する。
• Vlasov-Poisson-Boltzmann系の拡散スケーリングを用いて、運動論的から流体力学的ダイナミクスへつなげる。
• 非線形項の$L^2$ノルムを推定するために、フーリエ解析およびPlancherelの定理を適用する。
• 非線形項$N_1(g_ ho)$を低周波数および高周波数成分に分解し、極限における誤差を制御する。
• 時間に関する部分積分および解の作用素推定を用いて、線形化作用素から生じる振動的積分を有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vlasov-Poisson-Boltzmann系がランダムな不確実性を伴う場合に、可 compressible Navier-Stokes-Poisson方程式への収束速度は何か？
• RQ2 運動論的および流体的成分を含むランダムな初期データに対して、Navier-Stokes-Poisson極限を正当化できるか？
• RQ3 Hilbert展開法に依存せずに、定量的な収束速度を得ることは可能か？
• RQ4 初期データおよび衝突カーネルにおける不確実性は、系の長時間挙動および流体極限にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、初期データおよび衝突カーネルにランダム性を伴うVlasov-Poisson-Boltzmann系について、Knudsen数に一様に成立する可 compressible Navier-Stokes-Poisson極限を確立した。
• Hilbert展開を用いずに、$\mathcal{O}(\epsilon)$の明確な収束速度を導出した。これは画期的な貢献である。
• エネルギー推定がεに一様であることから、ランダム入力に対する解の感度解析が、$\epsilon$に一様なエネルギー推定を用いて定量的に評価され、不確実性下でも流体極限のロバスト性が保証された。
• 従来の決定論的流体極限を、運動論的および流体的両成分を含む初期データのランダムな場合にまで拡張した。これは、以前に解決されていなかった問題である。
• $L^2$ノルムの誤差項は$\mathcal{O}(\epsilon)$で有界であることが示され、エネルギー空間における収束速度が確認された。
• 解析により、不確実性下でも、Navier-Stokes-Poisson系が運動論的系の巨視的極限として正当であることが確認され、厳密な誤差制御がなされた。