[論文レビュー] Sensitivity analysis of the utility maximization problem with respect to model perturbations

Oleksii Mostovyi, Mihai Ŝırbu|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、不完全な連続半マルティンゲール市場における市場リスクプレミアムの摂動下で、効用最大化の2次感度解析を展開する。双対定式化を導入し、リスク許容性資産価格プロセスをナマラとして用いることで、キュニタ＝ワタナーベ分解を用いて、価値関数、最適終端資産価格、取引戦略の明示的2次近似を導出する。これにより、閉形式解が摂動下で存在しなくなった場合でも、高精度な近似が可能となる。

ABSTRACT

We study the sensitivity of the expected utility maximization problem in a continuous semi-martingale market with respect to small changes in the market price of risk. Assuming that the preferences of a rational economic agent are modeled with a general utility function, we obtain a second-order expansion of the value function, a first-order approximation of the terminal wealth, and construct trading strategies that match the indirect utility function up to the second order. If a risk-tolerance wealth process exists, using it as a numéraire and under an appropriate change of measure, we reduce the approximation problem to a Kunita-Watanabe decomposition.

研究の動機と目的

• 不完全な連続半マルティンゲール市場における、市場リスクプレミアムの小さな摂動に対する期待効用最大化問題の感度を分析すること。
• 有界相対的リスク回避性を有する一般の効用関数に対して、価値関数の2次展開および最適終端資産価格の1次補正項を導出すること。
• 2次までの間接的効用関数に一致する近似取引戦略を構築すること。
• このような2次近似の存在とリスク許容性資産価格プロセスの存在との関係を確立すること。
• 摂動によって閉形式解が失われるモデルにおいて、最適投資戦略を近似する構成的手段を提供すること。

提案手法

• 価値関数の2次展開を可能にするために、同時に市場リスクプレミアムと初期資産価格を摂動させることで次元を拡張する。
• プライマルおよび双対価値関数の2次近似を関連付けるために、補助的な2次確率的制御問題を定式化する。
• リスク許容性資産価格プロセスをナマラとして用い、適切な測度変換を施して、摂動プロセスによって生成される martingale のキュニタ＝ワタナーベ分解に帰着する。
• 双対理論および半マルティンゲール技術を用いて、最適資産価格および双対プロセスを2次最適化問題の解と関連付ける。
• 2次展開の存在を保証するための条件を抽象定理を用いて検証し、主結果を可測性および積分可能性条件の検証に還元する。
• 2つの取引資産を持つパワーユーティリティモデルにこの枠組みを適用し、摂動なしの状況では明示的解が得られるが、キュニタ＝ワタナーベ分解を用いて補正項の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不完全市場における市場リスクプレミアムの小さな摂動下で、効用最大化問題の価値関数はどのように変化するか？
• RQ2 価値関数が初期資産価格と摂動パラメータの両方に jointly 凸でない場合でも、価値関数の2次展開を構成可能か？
• RQ3 リスク許容性資産価格プロセスは、最適終端資産価格および取引戦略の明示的2次近似を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 キュニタ＝ワタナーベ分解は、摂動下での最適戦略の補正項をどのように特徴づけるか？
• RQ5 パrameter の摂動によって閉形式解が失われるモデルにおいて、どの程度まで近似最適戦略を構築できるか？

主な発見

• 有界相対的リスク回避性を有する一般の効用関数に対し、摂動変数における凸性が保証されない場合でも、価値関数の2次展開が導出可能である。
• 最適終端資産価格は、摂動プロセスに関連する martingale のキュニタ＝ワタナーベ分解を用いて1次補正される。
• リスク許容性資産価格プロセスが存在する場合、測度およびナマラがリスク許容性プロセスによって誘導される下で、価値関数および最適戦略の補正項はキュニタ＝ワタナーベ分解を用いて明示的に表現可能である。
• パワーユーティリティのケースでは、2次展開の係数 $a(x,x)$, $a(x,d)$, および $a(d,d)$ が、測度 $\mathbb{R}(1,0)$ における期待値を用いて明示的に計算可能であり、$\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F]$, $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[N^1_T(1,0)^2]$, および $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F^2 + G]$ を含む。
• 摂動のマージナル・ユーティリティベース価格（ランダムな恩恵としての価格）は $a(x,d) = -p \mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F]$ で与えられ、補正項と経済的価格付けを結びつける。
• 最適資産価格および双対プロセスが初期資産価格および双対変数の微分に $\mathbb{P}$-確率で収束することを確認し、1次感度結果の妥当性を裏付けた。