[論文レビュー] Sensitivity and block sensitivity of nested canalyzing function

Yuan Li, John O. Adeyeye|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ネスト型可換関数（NCF）の感度およびブロック感度の正確な公式を提示し、両者が等しく、$\frac{n+1}{2}$ から $n$ の間で有界であり、両端が達成可能であることを証明している。さらに、単調かつネスト型可換である関数を完全に特徴付け、多項係数を用いてその正確な個数を導出している。

ABSTRACT

Based on a recent characterization of nested canalyzing function (NCF), we obtain the formula of the sensitivity of any NCF. Hence we find that any sensitivity of NCF is between $\frac{n+1}{2}$ and $n$. Both lower and upper bounds are tight. We prove that the block sensitivity, hence the $l$-block sensitivity, is same to the sensitivity. It is well known that monotone function also has this property. We eventually find all the functions which are both monotone and nested canalyzing (MNCF). The cardinality of all the MNCF is also provided.

研究の動機と目的

• ネスト型可換関数（NCF）の固有の代数的正規形とレイヤー番号を用いて、任意のNCFの感度の正確な公式を導出すること。
• すべてのNCFに対してブロック感度が感度に等しいことを証明し、これは以前は単調関数に対してのみ知られていた性質を拡張したものである。
• 単調かつネスト型可換であるブール関数（MNCF）の集合を特徴付け、その正確な基数を計算すること。
• NCFの感度に対するタイトな境界を確立し、感度が $\frac{n+1}{2}$ から $n$ の間で変動することを示し、両端が達成可能であることを示すこと。
• レイヤー構造と変数プロファイルを用いて、MNCFの完全な組合せ的特徴付けを提供し、多項係数を活用すること。

提案手法

• 先行研究で特徴付けられたNCFの固有の代数的正規形（ANF）を用いる。式は $ f = M_1(M_2(\cdots(M_r \oplus 1)\oplus 1)\cdots)\oplus b $ で表され、$ M_i $ は変数またはその補数の積である。
• NCFの階層的構造を定義する「レイヤー番号」$ r $ を導入し、感度の挙動を決定づける。
• 各入力における感度を分析し、個々のビットの反転が $ M_i $ のネスト構造を通じて出力に与える影響を追跡する。特に、チェーン内で最初に0になるビットに注目する。
• NCF構造における階層的依存関係により、関数値を変化させる最小のブロックは常に1ビットであることを示すことで、ブロック感度が感度に等しいことを証明する。
• レイヤー構造 $[k_1, \dots, k_r]$ を固定し、$k_i \geq 1$（$i < r$）かつ $k_r \geq 2$ となるようにし、単調性を維持するための整合性のある極性値を割り当てることで、MNCFの個数を組合せ的に計算する。
• 各プロファイルごとの有効な変数割り当ての個数を多項係数 $ \binom{n}{k_1, \dots, k_r} $ で数え、極性と出力値の選択肢4通り（2通りの基本極性 $ a \in \{0,1\} $ と2通りの出力値 $ b \in \{0,1\} $）を乗じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のネスト型可換関数の正確な感度は何か？ また、そのタイトな境界は？
• RQ2 単調関数と同様に、すべてのネスト型可換関数に対しブロック感度が感度に等しいか？
• RQ3 どのブール関数が単調かつネスト型可換であり、そのような関数はいくつ存在するか？
• RQ4 NCFのレイヤー番号と変数プロファイルは、その感度および単調性にどのように影響するか？
• RQ5 単調ネスト型可換関数の完全な集合を列挙可能か？ その正確な基数は？

主な発見

• 任意のNCFの感度は $\frac{n+1}{2}$ から $n$ の間で有界であり、両端はタイトで、レイヤー番号 $ r = n $ のときに下限が達成される。
• NCFのすべての関数についてブロック感度が感度に等しい、すなわち $ bs(f) = s(f) $ である。これは、階層的構造が最小ブロックを1ビットに制限するためである。
• NCFの感度はレイヤー番号 $ r $ のみに依存する。$ r = 1 $ の場合、感度は $ n $ である。$ r > 1 $ の場合、値が反転する最初のレイヤーによって決定される。
• すべての単調かつネスト型可換である関数（MNCF）は、レイヤー間で極性が交互に切り替わる構造を持つ：奇数 $ i $ に対して $ M_i = \prod (x_j \oplus a) $、$ M_{i+1} = \prod (x_j \oplus \overline{a}) $。
• MNCFの総数は $ 4 \sum_{\substack{k_1+\cdots+k_r=n \\ k_i\geq1, i<r, k_r\geq2}} \binom{n}{k_1,\dots,k_r} $ で与えられ、有効なレイヤープロファイルにおける多項係数から導出される。
• 基数の公式は、4通りの選択肢を考慮している：基本極性 $ a \in \{0,1\} $ の2通りと出力値 $ b \in \{0,1\} $ の2通り。変数割り当てはレイヤー構造によって制約を受ける。