[論文レビュー] Sensor Selection via Randomized Sampling

Shaunak D. Bopardikar|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Distributed Sensor Networks and Detection Algorithms参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形時不変系の可観測性グラミアンを近似するために、センサを交換可能にサンプリングするための確率的センサ選択アルゴリズムを提案する。この手法は、トレース、最大固有値、最小固有値といった主要な指標について、高い確率で境界を保証し、非特異性とパフォーマンス保証を達成する。数値実験では、グリーディ法を上回る性能を示し、センサ使用数を削減しつつ効率的な再帰的状態推定を可能にする。

ABSTRACT

Given a linear dynamical system, we consider the problem of constructing an approximate system using only a subset of the sensors out of the total set such that the observability Gramian of the new system is approximately equal to that of the original system. Our contributions are as follows. First, we present a randomized algorithm that samples the sensors with replacement as per specified distributions. For specific metrics of the observability Gramian such as the trace or the maximum eigenvalue, we derive novel bounds on the number of samples required to yield a high probability lower bound on the metric evaluated on the approximate Gramian. Second, with a different distribution, we derive high probability bounds on other standard metrics used in sensor selection, including the minimum eigenvalue or the trace of the Gramian inverse. This distribution requires a number of samples which is larger than the one required for the trace and the maximum eigenvalue, but guarantees non-singularity of the approximate Gramian if the original system is observable with high probability. Third, we demonstrate how the randomized procedure can be used for recursive state estimation using fewer sensors than the original system and provide a high probability upper bound on the initial error covariance. We supplement the theoretical results with several insightful numerical studies and comparisons with competing greedy approaches.

研究の動機と目的

• 完全なセンサ集合よりも少ないセンサ数で、可観測性グラミアンを近似する確率的センサ選択フレームワークの開発。
• 確率的サンプリング下での標準的可観測性指標（トレース、最大固有値、最小固有値、グラミアン逆行列のトレース）に対する高い確率での境界の導出。
• 元のシステムが可観測である場合に、近似可観測性グラミアンが高い確率で非特異となることを保証。
• センサ数を削減しつつ、初期および定常状態の誤差共分散をバウンディングする再帰的状態推定を可能にする。
• 提案手法をグリーディヒューリスティクスと実験的に比較し、複数の可観測性指標において優れた性能を示す。

提案手法

• 本手法は、異なるパフォーマンス指標に適した2種類の確率分布に従い、交換可能な方法でセンサを確率的サンプリングするアルゴリズムを採用する。
• トレースおよび最大固有値の目的では、センサの寄与度に比例する分布を用い、高い確率での下限を保証するためのサンプル複雑度の理論的境界を導出する。
• 最小固有値およびグラミアン逆行列のトレースの目的では、より多くのサンプルを必要とするが、高い確率で近似グラミアンの非特異性を保証する別の分布を導入する。
• 集中不等式を活用して、可観測性グラミアンの近似品質に関する確率的保証を導出する。
• 最小二乗推定およびカルマンフィルタリングに本手法を適用し、初期および定常状態の誤差共分散行列に対する高い確率での上界を提供する。
• 数値実験では、最小固有値、トレース、最大固有値といった複数の指標において、グリーディヒューリスティクスと本手法を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可観測性グラミアンのトレースまたは最大固有値に対して、高い確率での下限を達成するために必要なセンササンプルの最小数は何か？
• RQ2 元のシステムが弱可観測である場合でも、確率的サンプリング戦略が、近似可観測性グラミアンが高い確率で非特異となることを保証できるか？
• RQ3 最小固有値およびグラミアン逆行列のトレースといった主要な可観測性指標において、確率的アルゴリズムの性能はグリーディヒューリスティクスと比べてどのように異なるか？
• RQ4 再帰的状態推定に確率的センサ選択を用いた場合の初期誤差共分散の理論的バウンディングは何か？
• RQ5 確率的サンプリングアプローチは、センサ使用数を削減しつつ、カルマンフィルタリングにおける定常状態誤差共分散をバウンディングするために拡張可能か？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、誤差許容度εの広い範囲において、最小固有値、トレース、最大固有値のすべてのテスト指標でグリーディヒューリスティクスを上回る性能を示した。
• 繰り返しセンサをサンプリングすることを許容するバージョンは、特に最悪ケース推定誤差を最小化する点で、グリーディ法を一貫して上回った。
• 再帰的推定における初期誤差共分散は、命題4.1で導出された理論的上界の1桁小さい値であった。
• 定常状態誤差共分散行列の相対誤差はεに対してほぼ線形に減少し、予測可能でスケーラブルな性能トレンドを示唆している。
• 最小固有値およびグラミアン逆行列の指標におけるサンプル複雑度は、トレースおよび最大固有値の指標よりも高いが、高い確率で近似グラミアンの非特異性を保証する。
• i.i.d. 標準正規乱数を用いたC行列の実験でも、定量的に類似した結果が得られたが、ベースライン設定と比較してサンプル複雑度は約2倍となった。