[論文レビュー] Separating NOF communication complexity classes RP and NP

Matei David, Toniann Pitassi|ArXiv.org|Feb 26, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ランダム関数 F^φ を用いた一般化された不一致法を導入することで、δ < 1 であるとき、最大 δ·log n 人までのプレイヤーに対して、数え上げの額 (NOF) 通信複雑性クラス RP と NP の間で非明示的分離を確立した。主な結果は、k ≤ δ·log n のとき NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc（したがって NP_k^cc ≠ RP_k^cc）であることを示しており、低不一致関数との相関によって、従来の不一致法の限界を克服した。

ABSTRACT

We provide a non-explicit separation of the number-on-forehead communication complexity classes RP and NP when the number of players is up to δlog(n) for any δ&lt;1. Recent lower bounds on Set-Disjointness [LS08,CA08] provide an explicit separation between these classes when the number of players is only up to o(loglog(n)).

研究の動機と目的

• 超定数個のプレイヤーに対して、数え上げの額 (NOF) 通信複雑性モデルにおける RP と NP の分離という根本的未解決問題を解明すること。
• 非決定的複雑性が小さい関数に対して失敗する従来の不一致法の限界を、相関関数を用いた一般化されたアプローチによって克服すること。
• 従来の明示的分離（例：o(log log n) 人の場合）を、任意の δ < 1 に対して δ·log n 人までの範囲へ拡張すること。
• 非明示的構成を用いて、k ≤ δ·log n のとき NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc（したがって NP_k^cc ≠ RP_k^cc）であることを示すこと。

提案手法

• プレイヤー 0 の入力から m 個のインデックスを φ が選ぶ関数族 F^φ を導入し、F^φ は対応するビットの論理和を出力する。
• ランダム関数 φ を用いて F^φ を構築し、非決定的複雑性は小さいが、ランダム化複雑性は高いようにする。
• 一般化された不一致法を適用：分布 λ における不一致が小さい関数 G と F^φ を相関させる。
• F^φ と G が強く相関しており、G が不一致が小さいならば、F^φ も高ランダム化複雑性を持つ必要があることを示す。
• 確率的構成とマルチセット解析を用いて、S_u = φ(y_1^u1, ..., y_k^uk) の集合における衝突数を制限し、相関関数の不一致を低く保つ。
• 期待値と条件付き分布の性質を活用して、μ と g の内積をバウンドし、不一致が指数的に小さくなることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 δ < 1 である k = δ·log n 人のプレイヤーに対して、NOF モデルにおいて RP と NP の間で非明示的分離を達成できるか？
• RQ2 非決定的複雑性が小さい関数に対して失敗する不一致法を、一般化して回避できるか？
• RQ3 ランダム選択子 φ を用いることで、非決定的複雑性は小さいがランダム化複雑性は高い関数 F^φ を構築できるか？
• RQ4 NOF モデルにおいて NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc が成り立つ k の閾値（n に関して）は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の δ < 1 およびすべての k ≤ δ·log n に対して NP_k^cc ⊈ BPP_k^cc（したがって NP_k^cc ≠ RP_k^cc）であることを確立した。
• 分離は非明示的であり、関数の明示的構成ではなく、確率的存在性に依存している。
• 証明は、低非決定的複雑性関数 F^φ と、適切に選ばれた分布における低不一致関数 G を相関させる一般化された不一致法を用いている。
• 解析により、F^φ の期待不一致は指数的に小さくなることが示され、高ランダム化通信複雑性を示している。
• 選択されたインデックスのマルチセットにおける衝突数は、復元抽出近似を用いて制限され、q 個の衝突の確率が (m2^k / n)^q であると示された。
• 従来の結果（o(log log n) 人の場合に限られていた）に比べ、はるかに多くのプレイヤー（最大 δ·log n 人）に対して分離を達成した。