[論文レビュー] Separating Vector Bundle Sections by Invariant Means

Gestur Ólafsson, Joseph A. Wolf|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、H がアメニタリであるとき、G/H 上の同次ヒルベルト bundle の有界右一様連続切断が、不変平均によって分離可能であることを確立し、主系列表現空間が商空間ではなく、これらの切断の完備化であることを証明する。主な貢献は、G/H 上の平均を用いた位相的分離結果であり、不変平均による非退化ノルムを保証し、無限次元リー群における誘導表現の構成を単純化する。

ABSTRACT

We sharpen the construction of representation space in the paper "Principal Series Representations of Infinite Dimensional Lie Groups II: Construction of Induced Representations". We show that the principal series representation spaces constructed there, are completions of spaces of sections of Hilbert bundles rather than completions of quotient spaces of sections.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群表現における表現空間の構成を精緻化すること、特に主系列表現に関して。
• 表現空間がヒルベルト束の有界右一様連続切断の完備化であり、商空間ではないことを示すこと。
• 無限次元リー群の表現理論において、商空間の構成を回避すること。
• G/H 上の不変平均が非ゼロ切断を分離できることを確立し、ノルム構造の忠実性を保証すること。
• 旗閉包パラボリック誘導におけるユニタリ同値性の証明を、商の比較を避けることで単純化すること。

提案手法

• H のユニタリ表現 τ に関連するヒルベルト空間バンドルに値をとる有界右一様連続切断 f ∈ RUC_b(G/H; ℰ_τ の使用。
• H のアメニタリティを活用し、G/H 上の平均 μ を用いて、半ノルム ν_μ(f) = μ(‖f‖) を定義する。
• アメニタリ群の不動点性質を応用し、非ゼロ f に対して ν_μ_f(f) ≠ 0 を満たす G/H 上の平均 μ_f を構成する。
• 評価汎関数 δ_x 及びその弱-* 閉包を用いて、σ(‖f‖) = 1 を満たす平均のコンパクト凸集合 S を定義する。
• G_ℚ 内の有理点評価 δ_{xP} の可算族を用いて、RUC_b(G/P; ℰ_τ) のフレシェ空間完備化を構成する。
• G_ℚ の列挙を用いて、重み付き和 ⟨f,h⟩ = ∑_{m ≥ 1} 2^{-m} ⟨f(x_m), h(x_m)⟩ によるヒルベルト空間構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H がアメニタリであるとき、G/H 上の同次ヒルベルトバンドルの有界右一様連続切断は、G/H 上の平均によって分離可能か？
• RQ2 無限次元リー群の主系列表現の表現空間は、RUC_b(G/P; ℰ_τ) の完備化と同型であり、商空間ではないか？
• RQ3 G/H 上の不変平均を用いることで、非ゼロ切断に対して RUC_b(G/H; ℰ_τ) 上で非退化半ノルムが得られるか？
• RQ4 G_ℚ 内の有理点のみを用いて、RUC_b(G/P; ℰ_τ) のフレシェ空間またはヒルベルト空間完備化を構成可能か？
• RQ5 G が RUC_b(G/P; ℰ_τ) 上に作用するが、有理点による平均で定義されたヒルベルト空間完備化へは連続に拡張可能か？

主な発見

• 任意の非ゼロ f ∈ RUC_b(G/H; ℰ_τ) に対して、ν_μ(f) ≠ 0 を満たす平均 μ ∈ ℳ(G/H) が存在し、不変平均による分離を証明する。
• 表現空間 Γ_ℳ(G/H; ℰ_τ) は、RUC_b(G/H; ℰ_τ) の局所凸位相線型空間の完備化であり、商空間ではない。
• Γ_ℳ(G/P; ℰ_τ) 上の主系列表現 Ind_P^G(τ) は、商の構成を回避して、直接的に切断から構成される。
• 有理点 x ∈ G_ℚ に対する評価平均 δ_{xP} の可算族を用いて、RUC_b(G/P; ℰ_τ) のフレシェ空間完備化が達成され、これらの半ノルムによって位相が定義される。
• RUC_b(G/P; ℰ_τ) 上に、⟨f,h⟩ = ∑_{m ≥ 1} 2^{-m} ⟨f(x_m), h(x_m)⟩ を用いて重み付き和による前ヒルベルト空間構造を定義し、ヒルベルト空間完備化が得られる。
• G が RUC_b(G/P; ℰ_τ) 上に作用するが、有理点による平均で定義されたヒルベルト空間完備化へは連続に拡張されない。