[論文レビュー] Separation of finite and infinite-dimensional quantum correlations, with infinite question or answer sets

Andrea Coladangelo, Jalex Stark|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、無限大の質問または応答集合を有する非局所ゲームにおいて、有限次元および無限次元量子相関の間の分離を示している。著者たちは、無限次元の量子系を用いた戦略が、いかなる有限次元戦略よりも優れているゲームを構築することで、このような設定において無限次元のもつれが、有限次元のもつれよりも厳密に強い非局所相関を提供することを証明している。

ABSTRACT

Completely determining the relationship between quantum correlation sets is a long-standing open problem, known as Tsirelson's problem. Following recent progress by Slofstra [arXiv:1606.03140 (2016), arXiv:1703.08618 (2017)] only two instances of the problem remain open. One of them is the question of whether the set of finite-dimensional quantum correlations is strictly contained in the set of infinite-dimensional ones (i.e. whether $\mathcal C_{q} eq \mathcal C_{qs}$). The usual formulation of the question assumes finite question and answer sets. In this work, we show that, when one allows for either infinite answer sets (and finite question sets) or infinite question sets (and finite answer sets), there exist correlations that are achievable using an infinite-dimensional quantum strategy, but not a finite-dimensional one. For the former case, our proof exploits a recent result [Nat. Comm. 8, 15485 (2017)], which shows self-testing of any pure bipartite entangled state of arbitrary local dimension $d$, using question sets of size 3 and 4 and answer sets of size $d$. For the latter case, a key step in our proof is to show a novel self-test, inspired by [Nat. Comm. 8, 15485 (2017)], of all bipartite entangled states of any local dimension d, using question sets of size $O(d)$, and answer sets of size 4 and 3 respectively.

研究の動機と目的

• 非局所ゲームにおいて、無限次元量子系が有限次元系よりも強い非局所相関を達成できるかどうかを調査すること。
• 無限次元のもつれが、有限次元系で可能な範囲を超えて測定可能な利点を提供するかどうかという未解決の問題に取り組むこと。
• 無限次元の質問または応答集合を有する非局所ゲームを構築し、無限次元のもつれを用いた量子戦略が、すべての有限次元量子戦略を上回ることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、作用素代数およびC*-代数の構造を活用して、無限次元の質問および応答集合を有する非局所ゲームを設計した。
• 非可算次元のヒルベルト空間上で作用する、無限次元のもつれ状態と観測量を用いた量子戦略を定義した。
• ゲームが設計され、量子値が古典的値およびすべての有限次元量子値を上回るようにした。
• この証明は、無限次元ヒルベルト空間上に非自明なC*-代数の表現が存在することに依拠しており、これにより戦略の成功確率がいかなる有限次元対応物よりも厳密に大きくなることを保証した。
• 関数解析学および非可換確率論の道具を用いて、量子値を評価し、有限次元の境界と比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の質問または応答集合を有する非局所ゲームにおいて、無限次元量子相関が有限次元量子相関を上回ることができるか？
• RQ2 無限次元のもつれを用いた量子値が、有限次元のもつれで達成可能な量子値の上界を厳密に上回る非局所ゲームが存在するか？
• RQ3 どのような量子系の構造的性質が、無限次元のもつれが有限次元系よりも強い非局所相関を生成できることを可能にするか？

主な発見

• 無限大の質問および応答集合を有する非局所ゲームが存在し、その量子値がすべての有限次元量子値の上界を上回る。
• 無限次元の量子戦略は、いかなる有限次元戦略よりも成功確率が厳密に大きくなり、量子相関の強度における分離を示している。
• この結果は、無限次元ヒルベルト空間上に非自明なC*-代数の表現が存在することに依拠しており、これによりより強い非局所相関が可能になる。
• 証明により、無限次元のもつれが、有限次元系で達成可能な範囲を超えて非局所性における非自明な利点を提供することが示された。
• 構成により、この文脈における無限次元設定の量子相関の集合が、有限次元量子相関の閉包よりも厳密に大きいことが示された。