[論文レビュー] Separation profiles, isoperimetry, growth and compression

Corentin Le Coz, Antoine Gournay|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、等周性、成長およびヒルバート空間への圧縮を用いて、グラフの分離プロファイルの上限を確立する。多項式的等周性および成長を示すグラフに対して、分離プロファイルは $ n $ のべき乗として増加し、可解群では $ n / \/log(n)^a $ のオーダーの下界が得られ、非自明な $ L^p $-空間への圧縮を有する群では $ n / \/log(n)^b $ の上界が得られる。さらに、指数的成長を示す可解群は、部分線形のべき有界分離プロファイルを有し得ないことを示している。

ABSTRACT

We give lower and upper bounds for the separation profile (introduced by Benjamini, Schramm & Timár) for various graphs using the isoperimetric profile, growth and Hilbertian compression. For graphs which have polynomial isoperimetry and growth, we show that the separation profile $\mathrm{Sep}(n)$ is also bounded by powers of $n$. For many amenable groups, we show a lower bound in $n/ \log(n)^a$ and, for any group which has a non-trivial compression exponent in an $L^p$-space, an upper bound in $n/ \log(n)^b$. We show that solvable groups of exponential growth cannot have a separation profile bounded above by a sublinear power function. In an appendix, we introduce the notion of local separation, with applications for percolation clusters of $ \mathbb{Z}^{d} $ and graphs which have polynomial isoperimetry and growth.

研究の動機と目的

• 等周性および成長特性を用いて、グラフの分離プロファイルに対する定量的境界を確立すること。
• 可解群における $ L^p $-空間への圧縮指数と分離プロファイルの関係を確立すること。
• 多項式的等周性および成長を示すグラフ、特に $ \mathbb{Z}^d $ のパーコレーションクラスタを含む、分離プロファイルの分析。
• 無限グラフにおける頂点中心の解析のための分離プロファイルの局所的変種の導入および研究。
• 指数的成長を示す可解群は、部分線形のべき有界分離プロファイルを有し得ないことを示すこと。

提案手法

• 分離プロファイルを $ \operatorname{Sep}(n) = \sup_{|F| \leq n} |F| \cdot h(F) $ として、チェーバー定数 $ h(F) $ を用いて定義し、グラフの連結性と関連付ける。
• 等周次元の仮定を適用して、境界体積比が制御された部分集合列 $ (F_i) $ を得る。
• サイズが減少し、等周性が制御されたネストされた部分集合の反復的構築を用いて、$ \operatorname{Sep}^v(n) $ の下界を導出する。
• 不等式 $ 2h(X) \geq \varepsilon \frac{|\partial X|}{|X|} $ を用いて、最小集合のチェーバー定数と境界拡張の関係を関連付ける。
• 成長境界 $ b_n \leq K_1 n^d $ および等周境界 $ \Lambda(n) \geq K_1 n^{-1/d} $ を用いて、$ \operatorname{Sep}(n) $ のべき則スケーリングを導出する。
• パーコレーションクラスターや多項式的グラフにおける頂点中心の解析のための局所的分離プロファイル $ \operatorname{Sep}^v_G(n) $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等周性および成長特性は、グラフの分離プロファイルをどのように制約するか？
• RQ2 可解群における $ L^p $-空間への圧縮指数と分離プロファイルの関係は何か？
• RQ3 パーコレーションクラスタの局所的幾何的性質を用いて、$ \mathbb{Z}^d $ のパーコレーションクラスタの分離プロファイルを下から抑えられるか？
• RQ4 指数的成長を示す可解群の分離プロファイルの漸近的境界は何か？
• RQ5 多項式的等周性および成長を示すグラフにおける局所的分離プロファイルはどのように振る舞うか？

主な発見

• $ d $ 次元の等周性および $ d $ 次の多項式的成長を示すグラフに対して、分離プロファイルは $ \frac{\operatorname{Sep}(n)}{n} \geq \frac{K_3}{n^{1/d}} $ を満たし、べき則の下界を示している。
• 多項式的成長 $ b_n \leq K_1 n^d $ を示すグラフに対して、分離プロファイルは $ \frac{\operatorname{Sep}(n)}{n} \leq \frac{K_2 \log n}{n^{1/d}} $ を満たし、上界に対数補正が現れていることを示している。
• $(d_1, d_2)$-多項式的グラフに対して、局所的分離プロファイルは任意の $ \eta \in (0,1) $ に対して $ \operatorname{Sep}^v(n) \geq c n^{(1-\eta) \cdot \frac{d_1^2(d_1 - 1)}{d_2^3}} $ を満たし、非自明なべき則の下界を確立している。
• 超臨界的パーコレーションクラスタ $ \mathbb{Z}^d $ において、原点からの距離が $ \exp(n^{(1-\varepsilon)\frac{d}{d-1}}) $ 以内の頂点 $ x $ に対して、局所的分離プロファイルは $ \operatorname{Sep}^x_{\mathcal{C}_\infty}(n) \geq c n^{\frac{d-1}{d}} $ を満たしている。
• 指数的成長を示す可解群は、任意の部分線形べき関数によって上から抑えられない分離プロファイルを有し得ない。すなわち、$ \operatorname{Sep}(n) \prec n^\alpha $（$ \alpha < 1 $）である。
• 局所的分離プロファイル $ \operatorname{Sep}^v(n) $ は、$ c' \cdot g(v, |B(v,2n)|)^{\frac{d_1^2 + d_1 - 1}{d_1}} \cdot |B(v,2n)|^{(1-\eta)\alpha} $ によって下から抑えられており、ここで $ g $ は局所的成長を測る関数で、$ \alpha $ は $ d_1, d_2 $ に依存する。