[論文レビュー] Sequential optimal selection of a single-qubit gate and its relation to barren plateau in parameterized quantum circuits

Kaito Wada, Rudy Raymond+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、勾配を用いずにコスト関数を最小化するため、動的に最適な単一キュービットゲートを選択する逐次最適化アルゴリズムを、パラメータ化された量子回路（PQC）に対して提案する。わずかに変更された回路からの期待値の行列分解を活用することで、構造最適化が効率的に行われ、逐次的手法と勾配ベース最適化の間の厳密な関係が確立される。局所的観測量に対して回路深さがO(log n)のとき、この手法はバーレンプレートゥの発生を回避することを証明する。12キュービットまでに成功裏に基底状態エネルギーの最適化が実現された。

ABSTRACT

We propose an algorithm for variational quantum algorithms (VQAs) to optimize the structure of parameterized quantum circuits (PQCs) efficiently. The algorithm optimizes the PQC structure on-the-fly in VQA by sequentially replacing a single-qubit gate with the optimal one to minimize the objective function. To directly find the optimal gate, our method uses the factorization of matrices whose elements are evaluated on a set of the slightly-modified circuits. The matrix factorization enables us to not only unify the existing sequential methods for further extension but also provide rigorous proofs of their limitation and potential in comparison with conventional gradient-based optimizers. Firstly, when the circuits are sufficiently deep, the sequential methods encounter a barren plateau that the spectrum of the matrix concentrates on a single value exponentially fast with respect to the number of qubits. Secondly, if the objective functions are local observables, they can avoid barren plateaus as long as the depth of the n-qubit PQCs is $O(\log{n})$. Although the family of these optimizers does not directly employ gradients of the objective function, our results establish their connection with conventional optimizations providing a consistent picture of the barren plateau. We also perform numerical experiments showing the advantages over conventional VQAs and confirm the successful optimization getting over the barren plateau in the ground state problem of the mixed field Ising model up to 12 qubits.

研究の動機と目的

• ヒューリスティックなアーサンツ設計における矛盾に取り組む：目的の状態を表現できるほど深すぎるが、バーレンプレートゥを避けるために浅すぎるほどではない。
• リアルタイムで最適な単一キュービットゲートを選択することで、PQCの構造を逐次的かつ勾配フリーに最適化する手法を開発する。
• 逐次最適化と勾配ベース最適化の間の理論的関係を確立する。特にバーレンプレートゥ現象に関して。
• 局所的観測量に対して回路深さがO(log n)のとき、逐次最適化器がバーレンプレートゥを回避することを証明する。
• 混合場イジング模型における数値実験を通じて、従来のVQAよりも優れた性能を示す。

提案手法

• わずかに変更された回路から得られる期待値の行列分解を用いて、各段階で最適な単一キュービットゲートを同定する。
• コスト関数のゲートパラメータ依存性に基づく行列固有値問題として最適化を定式化する。
• 回路期待値から構築された行列の固有値スペクトルを評価することで、1つの単一キュービットゲートを最適なものに逐次置き換える。
• Rotoselect や Fraxis といった既存の逐次的手法を一般化し、厳密な数学的基盤を持つ統一的フレームワークを提供する。
• 単一キュービット回転の周期性と解析的構造を活用することで、勾配を避けてゲート軸を直接最適化可能である。
• 理論的分析では、ユニタリtデザインとランダム行列理論を用いて、異なる回路深さと観測量における最適化行列のスペクトルを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的観測量に対して回路深さが量子ビット数の対数関数的であるとき、PQCにおける逐次ゲート最適化はバーレンプレートゥ問題を回避できるか？
• RQ2 収束性とスケーラビリティの観点から、逐次ゲート選択の性能は勾配ベース最適化器と比べてどうか？
• RQ3 バーレンプレートゥの文脈において、逐次最適化と勾配ベース最適化の理論的関係は何か？
• RQ4 摂動を加えた回路からの期待値の行列因子分解は、PQC構造の効率的かつ勾配フリーな最適化を可能にするか？
• RQ5 逐次最適化器がバーレンプレートゥを回避する上で有効である限界や条件は何か？

主な発見

• 局所的観測量に対して回路深さがO(log n)のとき、最適化行列のスペクトルが単一の値に集中しないため、逐次ゲート最適化はバーレンプレートゥを回避する。
• 本手法は12キュービットの混合場イジング模型の基底状態エネルギーを成功裏に最適化し、従来のVQAよりも低いエネルギー誤差を達成した。
• 数値実験では、さまざまな学習率を用いたAdamベースの勾配降下法よりも、特に最適化の初期段階で優れた性能を示した。
• 深すぎる回路では、FQS行列スペクトルの2番目のモーメントが量子ビット数に指数関数的に増加し、バーレンプレートゥの兆候が現れる。
• 理論的分析により、逐次的手法が勾配ベース最適化と本質的に関連しており、同じバーレンプレートゥ現象によって性能が制限されることを確認した。
• 行列因子分解アプローチは、Rotoselect や Fraxis といった既存の逐次最適化器を統一的かつ拡張する、厳密なフレームワークを提供する。