[論文レビュー] Serre-Tate theory for Shimura varieties of Hodge type

Ananth N. Shankar, Zhou Rong|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$μ$-通常点の形式的近傍が「シフトされた段階的構造」を備え、$G$-自己同型の完全な拡張を特徴づける標準的リフトを許容し、CM点が稠密であることを示すことで、Hodge型の志村多様体へのセール＝ターティー理論の一般化を達成する。結果として、$G$-構造とフォンタイン＝ラフィール理論を用いて、非PEL的かつ非通常な設定において、古典的な標準的リフトおよび形式的群構造が拡張される。

ABSTRACT

We study the formal neighbourhood of a point in $μ$-ordinary locus of an integral model of a Hodge type Shimura variety. We show that this formal neighbourhood has a structure of a shifted cascade. Moreover we show that the CM points on the formal neighbourhood are dense and that the identity section of the shifted cascade corresponds to a lift of the abelian variety which has a characterization in terms of its endomorphisms in analogy with the Serre-Tate canonical lift of an ordinary abelian variety.

研究の動機と目的

• 通常のアーベル多様体を超えて、Hodge型志村多様体へのセール＝ターティー理論の拡張を図ること。
• 「シフトされた段階的構造」として、$μ$-通常点の形式的近傍を特徴づけること。
• すべての$G$-自己同型を拡張する$p$-分岐群の標準的リフトの存在を証明すること。
• $μ$-通常点の形式的近傍におけるCM点の稠密性を確立すること。
• 群論的および$p$-進ホッジ理論の道具を用いて、非通常かつ非PELな志村多様体における、通常のアーベル多様体の古典的形式的トーラス構造の一般化を図ること。

提案手法

• PEL型でない場合の変形理論を一般化するために、$F$-クリスタルに$G$-構造を導入・使用する。
• フォンタイン＝ラフィール理論を用いて、志村多様体の$\mathcal{O}_L$-点と$p$-分岐群の計算・解析を行う。
• 整数的モデルの滑らかさを用いて、局所的性質を$\mathcal{O}_L$-点の条件に還元する。
• 繰り返し$p$-分岐群のスロープ層構造を変更することで、形式的近傍上に「シフトされた段階的構造」を構成する。
• スロープ層構造を保存するように、$p^{\lambda_k' - \lambda_{k-1}'}$による乗法を用いて、$p$-分岐形式群$\mathscr{H}(k)$を定義・解析する。
• 同型写像$\zeta_1$および$\eta_1$を用いて、捩れ点上のファイバーを関連付け、ファイバー内での捩れ点の稠密性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セール＝ターティーの標準的リフトは、Hodge型志村多様体上の$G$-構造を備えた$p$-分岐群へ一般化可能か？
• RQ2 Hodge型志村多様体上の$μ$-通常点の形式的近傍は、形式的トーラスに類似した構造を備えているか？
• RQ3 $p$-進設定において、$μ$-通常点の形式的近傍におけるCM点は稠密か？
• RQ4 ホッジ多角形がスロープ0および1でない場合、$G$-構造を備えた$p$-分岐群の変形空間はどのように記述できるか？
• RQ5 非通常かつ非PELな文脈において、$G$-自己同型は標準的リフトを特徴づける役割を果たすか？

主な発見

• Hodge型志村多様体上の$μ$-通常点$x$の形式的近傍$\widehat{U}_x$は、一意に「シフトされた部分段階的構造」としての構造を持つ。
• $x$をリフトし、$\mathcal{A}_x$のすべての$G$-自己同型を拡張する一意の$\mathcal{O}_L$-点$\tilde{x}$が$\widehat{U}_x$内に存在する。これはセール＝ターティーの標準的リフトを一般化する。
• ${\rm Def}_{(a,b)}(\mathcal{O}_L)$内の捩れ点$x$上のファイバー$F_x$は、$p$-分岐形式群のコセットであるため、捩れ点が稠密に存在する。
• $\eta_1: \operatorname{Def}_{(a,b)} \to \operatorname{Def}(\mathscr{G}_{(a,b)})$は、包含写像$\operatorname{Def}_{(a,b)} \subset \operatorname{Def}(\mathscr{G}_{(a,b)})$を通じて因数分解され、層構造の整合性が保証される。
• $p$-分岐群が2つのスロープを持つ場合、シフトされた段階的構造は$p$-分岐形式群に簡略化され、2スロープの場合の既知の結果が回復される。
• CM点の$\widehat{U}_x$における稠密性は、$p$-分岐形式群の構造とファイバー内での捩れ点の挙動を用いて確立される。