[論文レビュー] Towards a theory of local Shimura varieties

Michael Rapoport, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 86被引用数 82

ひとこと要約

この論文は、局所的シャイムヤデータ $(G,[b],\{\mu\})$ に関連する $p$-進局所シャイムヤ多様体——つまり、リーマン幾何的空間の塔——の理論を提唱する。これは、古典的なグローバルシャイムヤ多様体理論の $p$-進局所版である。著者らは、ラポルト＝ジンクス空間に基づくこの空間が、$G(\mathbb{Q}_p)$、$J(\mathbb{Q}_p)$、およびウェイユ群 $W_E$ の整合的な作用を持つと提唱し、そのコホモロジーが局所ラングランズ対応を実現すると考える。さらに、$\ell$-進コホモロジーに関する予想、特にコットヴィッツ予想とハリス予想を提示する。

ABSTRACT

This is a survey article that advertizes the idea that there should exist a theory of p-adic local analogues of Shimura varieties. Prime examples are the towers of rigid-analytic spaces defined by Rapoport-Zink spaces, and we also review their theory in the light of this idea. We also discuss conjectures on the $\ell$-adic cohomology of local Shimura varieties.

研究の動機と目的

• グローバル理論に類似した、$p$-進局所シャイムヤ多様体の概念的枠組みを確立すること。
• ラポルト＝ジンクス空間の理論を、より広範な幾何学的および群論的原理に統合すること。
• このような局所シャイムヤ多様体の $\ell$-進コホモロジーに関する予想を提示すること、特にコットヴィッツ予想とハリス予想を含む。
• $\sigma$-中心化群 $J(\mathbb{Q}_p)$ とウェイユ降下の役割が、自動表現のコホモロジカル実現に与える影響を明らかにすること。
• モジュライ的起源を除き、より本質的・群論的な方法で RZ 空間の理論を再構築すること。

提案手法

• 再帰的群 $G$ が $\mathbb{Q}_p$ 上に定義され、$\sigma$-共轭類 $[b]$ とコキャラクター類 $\{\mu\}$ を持つ三つ組 $(G,[b],\{\mu\})$ として、局所シャイムヤデータを定義する。
• 局所シャイムヤ多様体を、$\breve{E}$ 上のリッジ・アナリティック空間の塔 $\{\mathbb{M}^K\}$ として定義し、$G(\mathbb{Q}_p)$、$J(\mathbb{Q}_p)$、およびウェイユ群 $W_E$ の整合的作用を持つようにする。
• レベル構造付き $p$-除法群のモジュライ問題を解く形式的スキームの一般化として、この塔を構成する。
• 塔の写像のターゲットとして、すべての群作用に関して不変性を満たす周期領域 $\breve{\mathcal{F}}(G,b,\{\mu\})$ を用いる。
• コホモロジー予想を導入する：基本的 $[b]$ の場合にコットヴィッツ予想を、非基本的 $[b]$ の場合にハリス予想を提示する。
• ペルフェクトイド空間およびファルグス＝フォンタイン曲線の理論を応用し、形式的スキームを経由せずに一般ファイバーに直接塔を実現する可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的スキームを経由せずに、直接的にリッジ・アナリティック空間の塔として $p$-進局所シャイムヤ多様体の理論を構成できるか？
• RQ2 このような局所シャイムヤ多様体の $\ell$-進コホモロジー群が、$G(\mathbb{Q}_p)$、$J(\mathbb{Q}_p)$、$W_E$ の同時作用を通じて、どのように局所ラングランズ対応を実現するか？
• RQ3 局所シャイムヤ多様体のコホモロジーと $p$-進群の表現論の間の正確な関係は何か、特に超臨界表現の場合にどうなるか？
• RQ4 どのような条件下で、局所シャイムヤ多様体のコホモロジーがハリス予想に従って分解するか、特に $[b]$ が基本的でない場合に注目する。
• RQ5 RZ 空間の理論を、モジュライ的解釈に依存せずに、純粋な群論的視点から再解釈できるか？

主な発見

• コットヴィッツ予想は、$[b]$ が基本的である場合に、$\ell$-進コホモロジーの離散部が、離散系列表現と関連づけられる記述として提示される。
• ハリス予想は、非基本的の場合のコホモロジーに対する帰納的公式を提供し、$\{\mu'\}_L \in I_{b,\{\mu\},L}$ を通じた、より小さなレヴィ部分群のコホモロジーの和として表現される。
• マントヴァンによる定理 8.11 は、非分岐単純整数 RZ データの場合にハリス予想が成立することを確認しており、$G$-塔のコホモロジーが、$L$-塔のコホモロジーから誘導されることを示している。
• 定理 8.8 は、$\{\mu'\} \in I^{G}_{b,\{\mu\},L}$ ならば、$\{\mu'\}_L$ の $L$-ドミナント代表が、$\{\mu\}_L$ の $L$-ドミナント代表と一致することを示しており、基本群および $\Gamma$-不変量に関する条件下で成り立つ。
• RZ 空間上の $p$-除法群にスロープ分解が存在することは、ハリス予想の成立に十分であることが示され、これがシャンの研究により一般に成立することが判明している。
• 以前の文献における誤りを是正し、$|I^{G}_{b,\{\mu\},L}| = 1$ が一般には成り立たないことを示しており、正しい条件は $\{\mu'\}_L \in I_{b,\{\mu\},L}$ が存在し、$\mu'_{L-\text{dom}} = \mu_{\text{dom}}$ となることである。