[論文レビュー] Serre weights for rank two unitary groups

Thomas Barnet-Lamb, Toby Gee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、[BLGG11]、[BLGG10]、[BLGGT10] からの高度なリフト技術を用いて、CM 領域上のランク2ユニタリ群上の自動形式に付随する mod $l$ ガロア表現のための予想的なセール重量の集合を提案する。任意のスピン分岐および適切な像をもつ完全可約なモジュラー表現が、予測された集合内の各重量に対してモジュラーであることを証明するが、$l$ の分岐や惰性次数に制限を設けない。これにより、先行研究における組合せ論的および $p$-進ホッジ理論的障害が解消される。

ABSTRACT

We study the weight part of (a generalisation of) Serre's conjecture for mod l Galois representations associated to automorphic representations on rank two unitary groups for odd primes l. We propose a conjectural set of Serre weights, agreeing with all conjectures in the literature, and under a mild assumption on the image of the mod l Galois representation we are able to show that any modular representation is modular of each conjectured weight. We make no assumptions on the ramification or inertial degrees of l. Our main innovation is to make use of the lifting techniques introduced in our recent papers.

研究の動機と目的

• CM 領域上のランク2ユニタリ群へのセール予想の重量部を拡張し、これまでの結果が完全実数体に制限され、$l$ が非分岐である場合に限られていたのを一般化する。
• $l$-非分岐性および十分な正則性を要する従来の手法の制限を解消し、モジュラリティリフト定理およびブリュア＝メザール予想への適用範囲を拡大する。
• [BLGGT10] からの新しいリフト定理を用いることで、組合せ論的および $p$-進ホッジ理論的複雑性を回避し、任意の重量に対する $l$-進リフトを構成する。
• すべての先行研究（[BDJ10]、[Sch08]、[GHS11] を含む）と整合する一様的かつ明示的な予想的セール重量の集合を確立する。
• ガロア像にやや弱い仮定をおくことで、予測された重量集合内のすべての表現がモジュラーであることを証明し、このクラスの群に対するセール予想の重量部の強い形を完成させる。

提案手法

• 著者らは、$l$ 上の各素点における局所ガロア表現に基づき、[BDJ10]、[Sch08]、[GHS11] の予測の和集合として、明示的で一意なセール重量の集合 $W^{ ext{explicit}}(\bar{r})$ を定義する。
• 彼らは [BLGGT10] のリフト定理を用いて、$l$ 上の各素点における局所的性質（特にホッジ＝テイト重量およびインertie作用）を指定した $l$-進ガロア表現を構成する。
• この構成は、特に $\mathcal{O}_L$ 上の普遍変形環の有限性を用いたユニタリ群の自動形式リフト定理に依存する。
• 彼らは基底変換および自動形式の誘導技術を用い、異なる体上の表現を関連づけ、$F_1$、$F_2$、$F$ の拡大における一連の自動形式表現の鎖を構築し、モジュラリティを伝搬する。
• 主な革新は、[Gee10b] で用いられた「潜在的にバーラック＝タイト」リフトの代わりに、より一般的なリフトを用いることで、正則性条件の必要性を排除し、変形理論を単純化することにある。
• 彼らは、普遍変形環 $R_{\mathcal{S}}^{\text{univ}}$ が $\mathcal{O}_L$-加群として有限であり、かつクルール次元が 1 以上であることを証明し、これにより $\overline{\mathbb{Q}}_l$-点の存在を保証する。この点が、望ましい $l$-進リフトを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CM 領域上のランク2ユニタリ群における mod $l$ ガロア表現の正しいセール重量の集合は何か？ これは、先行の予想を一般化するものである。
• RQ2 正則性や $l$ での非分岐性を仮定せずに、セール予想の重量部がすべての重量に対して証明可能か？
• RQ3 リフト技術をどのように変更すれば、組合せ論的および $p$-進ホッジ理論的複雑性を回避し、任意の重量に対する $l$-進リフトを構成できるか？
• RQ4 やや弱い像の条件のもとで、予測された重量集合内のすべての重量に対して、表現のモジュラリティをどの程度まで確立できるか？
• RQ5 完全実数体の単位元による障害を、内型ではなく外型（ユニタリ群）を用いることで回避できるか？

主な発見

• 本稿は、ランク2ユニタリ群の文脈において、すべての先行研究の予想を統合し一般化する明示的かつ一意なセール重量の集合 $W^{\text{explicit}}(\bar{r})$ を構成する。
• 仮定として $\bar{r}(G_{F(\zeta_l)})$ が適切であるとすると、$\bar{r}$ が $W^{\text{explicit}}(\bar{r})$ 内のすべての重量に対してモジュラーであることを証明し、この設定におけるセール予想の重量部を完全に確立する。
• 完全実数体 $F^+$ における $l$ の分岐や惰性次数に制限を設けないで、結果が成り立つ。これは、先行研究の主要な制限を克服する。
• $l \geq 7$ の場合、適切性条件は標準的なタイラー＝ワイエルズ仮定（$\bar{r}|_{G_{F(\zeta_l)}}$ の非可約性）に置き換え可能であり、仮定を単純化する。
• 著者らは、変形環 $R_{\mathcal{S}}^{\text{univ}}$ が $\mathcal{O}_L$ 上で有限であり、かつクルール次元が 1 以上であることを示し、$\overline{\mathbb{Q}}_l$-点の存在を保証する。この点が、望ましい $l$-進リフトを導く。
• 本手法は、潜在的にバーラック＝タイトリフトの必要性を完全に回避し、正則性条件の必要性を排除することで、すべての重量を一様に取り扱えるようにする。