[論文レビュー] Seven Principles of Quantum Mechanics

И. В. Волович|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、空間、時間、局所性を明示的に組み込むことで、フォン・ノイマンのヒルベルト空間形式を超えた量子力学の7つの基礎的公理を提案する。無限次元ヒルベルト空間と空間的に局所化された観測可能性を要求することにより、局所実在主義と整合性を保ち、ベルの不等式との apparent な矛盾を解消する。量子非局所性は、本質的な非局所性ではなく、空間的自由度を無視することに起因するものであることが示される。

ABSTRACT

The list of basic axioms of quantum mechanics as it was formulated by von Neumann includes only the mathematical formalism of the Hilbert space and its statistical interpretation. We point out that such an approach is too general to be considered as the foundation of quantum mechanics. In particular in this approach any finite-dimensional Hilbert space describes a quantum system. Though such a treatment might be a convenient approximation it can not be considered as a fundamental description of a quantum system and moreover it leads to some paradoxes like Bell's theorem. I present a list from seven basic postulates of axiomatic quantum mechanics. In particular the list includes the axiom describing spatial properties of quantum system. These axioms do not admit a nontrivial realization in the finite-dimensional Hilbert space. One suggests that the axiomatic quantum mechanics is consistent with local realism.

研究の動機と目的

• 抽象的なヒルベルト空間形式と物理的量子力学との間の基礎的ギャップを埋めるために、欠落している構造的公理を特定すること。
• 有限次元ヒルベルト空間が基礎的量子力学に不適切であり、非局所性に関する誤った結論を導くことの主張。
• 空間的性質と無限次元ヒルベルト空間を適切に含めることで、ベルの不等式が量子力学と整合的であることを示すこと。
• 観測可能性の空間的局所化を組み込むことで、局所実在主義と量子予測が両立可能な枠組みを確立すること。
• 抽象的形式主義と物理的現実の間を橋渡しする、厳密な公理的基盤を提供すること。

提案手法

• ヒルベルト空間、測定、時間、空間、複合系、ボーズ・フェルミ統計、内部対称性の7つの公理のリストを導入する。
• 空間的局所化と時間発展を可能にするために、ヒルベルト空間を無限次元に要求する。
• 観測量を空間に局所化された演算子として定義し、測定を正の作用素値測度（POVM）で記述する。
• 対称性群に並進、回転、内部対称性を含め、ユニタリ表現が時空対称性と可換であることを課す。
• 複合系にはテンソル積構造を用い、同一粒子には対称化・反対称化を適用する。
• 具体的な実装として、3次元空間内のスピン1/2粒子の非相対論的シュレーディンガー＝パウリハミルトニアンにこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測量の空間的局所化が適切に考慮されれば、局所実在主義と量子力学を調和させられるか？
• RQ2 ベル型の定理が局所的隠れ変数を排除すると見なされるが、これは不完全な公理化に起因するのだろうか？
• RQ3 無限次元ヒルベルト空間は、量子力学における局所性の整合的定式化にどのように寄与するか？
• RQ4 空間的自由度の組み込みは、エンタングルド系における相関関数の導出にどのように影響するか？
• RQ5 有限次元ヒルベルト空間における量子ビットの標準的取り扱いは、基本的量子系を記述するのに十分か？

主な発見

• 7つの公理は、特に4次元空間では実現不可能であり、量子力学がこのような設定でベルの不等式に違反するとする主張を無効にする。
• 空間的局所化を適切に組み込むと、無限次元ヒルベルト空間におけるスピン測定の相関関数はベルの不等式を満たし、局所実在主義と整合的であることが示される。
• ベルの意味での量子非局所性は、空間的自由度を無視することに起因するものであり、観測量が空間に局所化されると消失することが示される。
• 局所実在主義的表現として、確率的場 ξₘ(x) と ηₙ(y) の統計的期待値として、量子相関を構成し、適切な仮定の下で局所的隠れ変数が量子予測を再現できることを示す。
• この枠組みは、ヒルベルト空間 H = C² ⊗ L²(R³) として標準的な非相対論的シュレーディンガー＝パウリハミルトニアンを物理的実現として支持し、その物理的妥当性を確認する。
• 本稿は、有限次元空間における標準的量子形式主義（例：量子ビット）が、局所性を含む基礎的問題に関しては近似にすぎず、根本的ではないことを示している。