[論文レビュー] Several explicit formulae of sums and hyper-sums of powers of integers

Fouad Bounebirat, Diffalah Laissaoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スターリング数の第二種および一般化ベルヌーイ多項式を用いて、等差数列における整数のべき乗の和およびハイパーサムの明示的公式を提示する。生成関数と閉形式の式を導出し、初期項 a と公差 d のパラメータを持つ一般の等差数列に古典的結果を拡張し、数論および組合せ論における新たな計算ツールを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we present several explicit formulas of the sums and hyper-sums of the powers of the first (n+1)-terms of a general arithmetic sequence in terms of Stirling numbers and generalized Bernoulli polynomials.

研究の動機と目的

• 一般の等差数列の最初の (n+1) 項のべき乗の和に対する明示的閉形式式を導出すること。
• 古典的結果をべき乗の和からハイパーサム（反復和）に拡張すること。
• より広範な適用性を実現するため、これらの和を第二種の重み付きスターリング数および一般化ベルヌーイ多項式で表現すること。
• べき乗の和およびハイパーサムの既知の結果を統一・一般化する生成関数を提供すること。
• 指数型生成関数を用いてハイパーサムと一般化ベルヌーイ多項式との関係を確立すること。

提案手法

• 恒等式 $ \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}(n) \frac{z^p}{p!} = \sum_{k=0}^n e^{(a+kd)z} $ を用いて、和 $ S_{p,(a,d)}(n) $ の指数型生成関数を導出する。
• 重み付きスターリング数 $ \mathcal{S}_n^k(x) $ の生成関数を用い、$ S_{p,(a,d)}(n) $ を $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \mathcal{S}_p^k\left(\frac{a}{d}\right) $ として表現する。
• $ W_{m,r}(n,i) $ を介して和と第二種の r-ホイットニー数との関係を確立し、$ W_{a,d}(p,k) $ を含む式を導出する。
• ハイパーサム $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) $ の二重生成関数を導出し、$ \sum_{r \geq 0} \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) \frac{z^p}{p!} t^r = \frac{e^{az} - (1-t)^{n+1} e^{(a+(n+1)d)z}}{(1-t)^{n+1}(1 - (1-t)e^{dz})} $ を示す。
• 一般化ベルヌーイ多項式 $ B_n^{(\alpha)}(x) $ を用いてハイパーサムを表現し、$ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) = \frac{p! d^p}{(p+r+1)!} B_{p+r+1}^{(r+1)}\left(\frac{a}{d} + r + n + 1\right) - \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k} \frac{p! d^p}{(p+r+1-k)!} B_{p+r+1-k}^{(r-k+1)}\left(\frac{a}{d} + r - k\right) $ を得る。
• ハイパーサムの公式が $ r = 0 $ のとき古典的ベルヌーイ多項式の恒等式に還元されることを示して、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の等差数列の最初の $ n+1 $ 項の $ p $ 乗の和は、どのように閉形式で表されるか？
• RQ2 第二種の重み付きスターリング数は、等差数列のべき乗和をパrameter化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 第二種の r-ホイットニー数は、べき乗のハイパーサムの構造とどのように関係するか？
• RQ4 等差数列におけるべき乗のハイパーサムに対して、二重生成関数を導出できるか？
• RQ5 一般化ベルヌーイ多項式を用いて、ハイパーサムの明示的表現は何か？

主な発見

• 和 $ S_{p,(a,d)}(n) $ は、$ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \mathcal{S}_p^k\left(\frac{a}{d}\right) $ として明示的に与えられ、ここで $ \mathcal{S}_p^k(x) $ は重み付きスターリング数の第二種である。
• $ d \mid a $ のとき、和は $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{p + \frac{a}{d}}{k + \frac{a}{d}}_{\frac{a}{d}} $ に簡略化され、r-スターリング数と関連づけられる。
• $ a $ と $ d $ が互いに素であるとき、和は $ r $-ホイットニー数を用いて $ S_{p,(a,d)}(n) = \sum_{k=0}^p k! d^k \binom{n+1}{k+1} W_{a,d}(p,k) $ として表現される。
• ハイパーサム $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) $ には二重生成関数 $ \sum_{r \geq 0} \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) \frac{z^p}{p!} t^r = \frac{e^{az} - (1-t)^{n+1} e^{(a+(n+1)d)z}}{(1-t)^{n+1}(1 - (1-t)e^{dz})} $ が存在する。
• ハイパーサムは一般化ベルヌーイ多項式を用いて明示的に表現され、$ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) = \frac{p! d^p}{(p+r+1)!} B_{p+r+1}^{(r+1)}\left(\frac{a}{d} + r + n + 1\right) - \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k} \frac{p! d^p}{(p+r+1-k)!} B_{p+r+1-k}^{(r-k+1)}\left(\frac{a}{d} + r - k\right) $ が得られる。
• $ r = 0 $ のとき、ハイパーサムの公式は古典的恒等式 $ S_{p,(a,d)}(n) = \frac{d^p}{p+1} \left( B_{p+1}\left(\frac{a}{d} + n + 1\right) - B_{p+1}\left(\frac{a}{d}\right) \right) $ に還元され、既知の結果と整合することが確認される。