[論文レビュー] Shadowing and structural stability in linear dynamical systems

Nilson C. Bernardes, Ali Messaoudi|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、線形力学系における構造安定性が双曲的であることを意味しないことを確立し、バナッハ空間上の可逆作用素に対して構造安定であるが双曲的でない反例を提示する。また、可逆作用素が双曲的であることと、拡張性とシャドーイング性質を併せ持つことは同値であることを証明し、$c_0(\mathbb{Z})$ および $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上の重み付きシフト作用素がシャドーイング性質を満たす条件を同定する。

ABSTRACT

A well-known result in the area of dynamical systems asserts that any invertible hyperbolic operator on any Banach space is structurally stable. This result was originally obtained by P. Hartman in 1960 for operators on finite-dimensional spaces. The general case was independently obtained by J. Palis and C. Pugh around 1968. We will exhibit examples of structurally stable operators that are not hyperbolic, thereby showing that the converse of the above-mentioned result is false in general. We will also prove that an invertible operator on a Banach space is hyperbolic if and only if it is expansive and has the shadowing property. Moreover, we will show that if a structurally stable operator is expansive, then it must be uniformly expansive. Finally, we will characterize the weighted shifts on the spaces $c_0(\mathbb{Z})$ and $\ell_p(\mathbb{Z})$ ($1 \leq p < \infty$) that satisfy the shadowing property.

研究の動機と目的

• 線形力学系における構造安定性、双曲的性、シャドーイング性の関係を調査すること。
• 無限次元力学系において長年の未解決問題であった、構造安定性が双曲的性を意味するかを特定すること。
• $c_0(\mathbb{Z})$ および $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上の重み付きシフト作用素がシャドーイング性質を満たす条件を同定すること。
• バナッハ空間作用素における構造安定性と $GL(X)$ に関する相対的構造安定性の違いを明確にすること。

提案手法

• ハートマンの定理の逆が成り立たないことを示すために、特定のバナッハ空間上に構造安定であるが双曲的でない可逆作用素の明示的反例を構成する。
• スペクトル論および擬軌道解析を用いて、バナッハ空間上の可逆作用素が双曲的であることと、拡張性とシャドーイング性質を併せ持つことは同値であることを証明する。
• $c_0(\mathbb{Z})$ および $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上の重み付き両側シフト作用素のシャドーイング性質を、重みの積ノルムの推移的推移に関する推定を用いて分析する。
• 構造安定性を確立するために、双曲的分解 $X = X_s^T \oplus X_u^T$ と位相同相写像による共役性議論を用いる。
• リプシッツ型摂動と共役条件 $h \circ T = S \circ h$ を用いて、双曲的作用素が $GL(X)$ に関して構造安定であることを証明する。
• 頻繁な混合性基準を適用することで、特定の構造安定作用素が強いカオス的挙動を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間上の線形作用素における構造安定性は、双曲的性を意味するか？
• RQ2 可逆作用素が双曲的でもなく、$GL(X)$ に関しての構造安定性でもない状態で、構造安定であることは可能か？
• RQ3 線形作用素において、拡張性、シャドーイング性、双曲的性の正確な関係は何か？
• RQ4 $c_0(\mathbb{Z})$ および $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上のどの重み付きシフト作用素がシャドーイング性質を満たすか？
• RQ5 構造安定作用素は、必然的に頻繁な混合性基準を満たすか？

主な発見

• バナッハ空間上の可逆作用素のうち、構造安定であるが双曲的でないものが存在し、ハートマンの定理の逆が成り立たないことを反証した。
• バナッハ空間上の可逆作用素が双曲的であることと、拡張性とシャドーイング性質を併せ持つことは同値である。
• 拡張性を満たす構造安定作用素は、必ず一様に拡張的であることが示され、強い正則性条件が得られた。
• $c_0(\mathbb{Z})$ および $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上の重み付きシフト $F_w$ に対して、シャドーイング性質が成り立つのは、$\lim_{n\to\infty}\sup_{k\in\mathbb{N}}|w_k w_{k+1} \cdots w_{k+n}|^{1/n} < 1$ が成り立つ場合に限る。
• 本稿で構築された構造安定作用素のクラスは、頻繁な混合性基準を満たしており、稠密な分布的カオスおよびデヴァンキー・カオスを示す。
• 任意のバナッハ空間上の可逆双曲的作用素は、双曲的分解と位相同相写像の拡張を用いた共役性により、$GL(X)$ に関して構造安定であることが証明された。