[論文レビュー] Shafarevich's Conjecture for CY Manifolds I

Kefeng Liu, Andrey Todorov+2 more|ArXiv.org|Aug 22, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Calabi-Yau (CY) 多様体に対するテイヒミュラー空間の存在を確立し、極小化されたCY多様体の粗いモジュライ空間の、非特異な準射影的多様体である有限被覆を構成する。これにより、極小化されたCY多様体の族が可能になる。また、シャファレヴィチの集合の有限性とヤクウカ結合の非消滅を関連させ、ボルチェア–ヴォイシンCY多様体を用いた、シャファレヴィチの予想の類似に対する反例を提示する。

ABSTRACT

In this paper we first study the moduli spaces related to Calabi-Yau manifolds. We then apply the results to the following problem. Let $C$ be a fixed Riemann surface with fixed finite number of points on it. Given a CY manifold with fixed topological type, we consider the set of all families of CY manifolds of the fixed topological type over $C$ with degenerate fibres over the fixed points up to isomorphism. This set is called Shafarevich set. The analogue of Shafarevich conjecture for CY manifolds is for which topological types of CY the Shafarevich set is finite. It is well-known that the analogue of Shafarevich conjecture is closely related to the study of the moduli space of polarized CY manifolds and the moduli space of the maps of fixed Riemann surface to the coarse moduli space of the CY manifolds. We prove the existence of the Teichmüller space of CY manifolds together with a universal family of marked CY manifolds. From this result we derive the existence of a finite cover of the coarse moduli space which is a non-singular quasi-projective manifold. Over this cover we construct a family of polarized CY manifolds. We study the moduli space of maps of the fixed Riemann with fixed points on it to the moduli space of CY manifolds constructed in the paper such that the maps map the fixed points on the Riemann surface to the discriminant locus. If this moduli space of maps is finite then Shafarevich conjecture holds. We relate the analogue of Shafarevich problem to the non-vanishing of the Yukawa coupling. We give also a counter example of the Shafarevich problem for a class of CY manifolds.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体に対するテイヒミュラー空間の存在を確立し、マークされた極小化されたCY多様体の普遍族を構成すること。
• 極小化されたCY多様体の粗いモジュライ空間の有限被覆が存在し、非特異な準射影的多様体であることを構成すること。
• 固定されたリーマン面に沿って固定点で退化するCY多様体の族の同型類の集合（シャファレヴィチの集合）の有限性を、ヤクウカ結合の非消滅と関連付けること。
• 明示的な反例を用いて、特定のクラスのCY多様体におけるシャファレヴィチの予想の類似の失敗を調査すること。

提案手法

• 微分同相型が恒等写像にホモトープな微分同相型の下での積分可能な複素構造の商として、マークされた極小化されたCY多様体のテイヒミュラー空間を構成する。
• ヒルベルト・スキームを用いてCY多様体の族を構成し、中間コホロロジーに自明な作用をもつ自己同型群Gの作用を分析する。
• 粗いモジュライ空間の有限被覆が存在し、非特異な準射影的多様体であることを証明し、その上に極小化されたCY多様体の族を構成する。
• Higgsバンドル理論とホッジ構造の変動を用いて、CY多様体族における剛性とモノドロミーを研究する。
• ビショップの収束定理とケーラー幾何における複素指数関数写像を用いて、有界性と正則埋め込みを分析する。
• 固定点をもたない自己同型をもつK3多様体と楕円曲線の商として得られるボルチェア–ヴォイシンCY多様体を用いて、反例を構成する。これにより、シャファレヴィチ集合が無限大であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体に対してテイヒミュラー空間は存在するか？ また、それは非特異な複素多様体であり、マークされた極小化されたCY多様体の普遍族をもつのか？
• RQ2 極小化されたCY多様体の粗いモジュライ空間の有限被覆が存在し、非特異な準射影的多様体であるか？
• RQ3 固定されたリーマン面（マークされた点付き）からCY多様体のモジュライ空間への写像のモジュライ空間が有限である条件は何か？ これはシャファレヴィチ集合の有限性を示唆する。
• RQ4 ヤクウカ結合の非消滅は、固定されたリーマン面上のCY多様体族の剛性および有限性とどのように関係するか？
• RQ5 CY多様体に対するシャファレヴィチの予想の類似に対する明示的な反例は存在するか？ その失敗の背後にある幾何的構造は何か？

主な発見

• Calabi-Yau多様体のテイヒミュラー空間は存在し、その既約成分は有限個であり、それぞれが非特異な複素多様体である。
• 極小化されたCY多様体の粗いモジュライ空間の有限被覆が存在し、非特異な準射影的多様体である。その上に極小化されたCY多様体の族が構成される。
• シャファレヴィチ集合の有限性は、固定されたリーマン面（マークされた点付き）からCY多様体のモジュライ空間への写像のモジュライ空間の有限性と同値であり、マークされた点が特異点集合へ写される。
• ヤクウカ結合の非消滅は、CY多様体族の剛性にとって必要条件であり、シャファレヴィチ集合の有限性とも関連している。
• ボルチェア–ヴォイシンCY多様体（固定点をもたない自己同型をもつK3多様体と楕円曲線の商）を用いて、シャファレヴィチの予想の類似に対する反例が構成された。
• 得られた3次元CY多様体のモジュライ空間は、エンリケス多様体のモジュライ空間と楕円曲線のモジュラー曲線の積と同型であり、その族は非剛性を示し、シャファレヴィチ集合が無限大である。