[論文レビュー] Sharp geometric inequalities in spaces with nonnegative Ricci curvature and Euclidean volume growth

Zoltán M. Balogh, Alexandru Kristály|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 55被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非負のリッチ曲率とオイラー体積成長を示す測度付き距離空間において、最適輸送を用いて鋭い等周不等式を確立する。境界が滑らかな等周集合が存在するための必要十分条件として、多様体がユークリッド空間に等長であることであることを証明し、等号が成り立つのはユークリッド空間でのみである鋭いガリャルド＝ニレングラフおよびレイリー＝ファーバー＝クラウム不等式を導出する。

ABSTRACT

By the method of optimal mass transport we prove a sharp isoperimetric inequality in ${\sf CD} (0,N)$ metric measure spaces involving the asymptotic volume ratio at infinity, $N>1$. In the setting of $n$-dimensional Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature we provide a rigidity result stating that isoperimetric sets with smooth regular boundary exist if and only if the manifold is isometric to the Euclidean space. As applications of the isoperimetric inequalities, we establish Gagliardo-Nirenberg and Rayleigh-Faber-Krahn inequalities with explicit sharp constants in Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature; here we use appropriate symmetrization techniques and optimal volume non-collapsing properties. The equality cases in the latter inequalities are also characterized by stating that sufficiently smooth, nonzero extremal functions exist if and only if the Riemannian manifold is isometric to the Euclidean space.

研究の動機と目的

• ${\sf CD}(0,N)$ 測度付き距離空間における、無限遠における漸近的体積比を含む鋭い等周不等式の確立。
• $n$ 次元の非負リッチ曲率をもつリーマン多様体における滑らかな境界をもつ等周集合の剛性の特徴づけ。
• 非負リッチ曲率の下で、ガリャルド＝ニレングラフおよびレイリー＝ファーバー＝クラウム不等式における鋭い定数の導出。
• これらの不等式における等号成立の条件を、十分に滑らかな極値関数の存在を通じて同定する。
• 最適輸送および体積の非収縮性の性質を統合して、幾何的および関数的不等式を統一する。

提案手法

• ${\sf CD}(0,N)$ 空間における等周プロファイルの分析に最適輸送技術を用いる。
• 非負リッチ曲率の文脈において、関数不等式を対称モデルに還元するための対称化法を適用する。
• 鋭い等周不等式を導出するための主要な幾何的不変量として、無限遠における漸近的体積比を用いる。
• 測度の崩壊を制御し、定数の鋭さを保証するために、最適な体積の非収縮性に依存する。
• 測度付き距離空間の解析とリーマン幾何学を組み合わせ、等周集合の剛性定理を確立する。
• $n$ 次元の非負リッチ曲率をもつリーマン多様体の構造を用いて、関数不等式における等号の条件を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\sf CD}(0,N)$ 空間において、ユークリッド体積成長をもつ場合の鋭い等周不等式は何か？ また、漸近的体積比にどのように依存するか？
• RQ2 非負リッチ曲率をもつリーマン多様体において、滑らかな境界をもつ等周集合が存在するための条件は何か？
• RQ3 このような多様体におけるガリャルド＝ニレングラフおよびレイリー＝ファーバー＝クラウム不等式の最適定数は何か？
• RQ4 これらの不等式における極値関数が存在するのはいつか？ どのような幾何的条件が必要か？
• RQ5 これらの関数不等式における等号成立の条件は、基礎となる幾何構造に関してどのように特徴づけられるか？

主な発見

• ${\sf CD}(0,N)$ 測度付き距離空間において、無限遠における漸近的体積比を含む鋭い等周不等式が確立された。
• $n$ 次元の非負リッチ曲率をもつリーマン多様体において、滑らかな正則境界をもつ等周集合が存在するための必要十分条件は、多様体がユークリッド空間に等長であることである。
• 非負リッチ曲率多様体の設定において、明示的かつ最適な定数をもつ鋭いガリャルド＝ニレングラフ不等式が導出された。
• レイリー＝ファーバー＝クラウム不等式が鋭い定数をもって証明され、等号が成り立つのは、多様体がユークリッド空間に等長である場合に限る。
• ガリャルド＝ニレングラフおよびレイリー＝ファーバー＝クラウム不等式に対して、十分に滑らかで非自明な極値関数が存在するのは、多様体がユークリッド空間に等長である場合に限る。
• すべての関数不等式における等号成立の条件は、基礎となるリーマン多様体がユークリッド空間であるという剛性によって特徴づけられる。