[論文レビュー] Sharp Holder continuity of the Lyapunov exponent of finitely differentiable quasi-periodic cocycles

Ao Cai, Claire Chavaudret+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ディオファントス周波数条件下での、有限回微分可能な準周期的 $SL(2,\mathbb{R})$ コックスに対して、リャプノフ指数の鋭い Hölder 連続性を確立する。$C^k$ コックスで $k$ が十分に大きく、ほぼ可約な領域にある場合、リャプノフ指数は $1/2$-Hölder 連続であることが示され、これは小さな $C^k$ ポテンシャルにおける状態密度の統合の $1/2$-Hölder 連続性をも意味する。

ABSTRACT

We show that if the base frequency is Diophantine, then the Lyapunov exponent of a $C^{k}$ quasi-periodic $SL(2,\mathbb{R})$ cocycle is $1/2$-Hölder continuous in the almost reducible regime, if $k$ is large enough. As a consequence, we show that if the frequency is Diophantine, $k$ is large enough, and the potential is $C^k$ small, then the integrated density of states of the corresponding quasi-periodic Schrödinger operator is $1/2$-Hölder continuous.

研究の動機と目的

• 準周期的 $SL(2,\mathbb{R})$ コックスの有限回微分可能な設定におけるリャプノフ指数の正則性特性を確立すること。
• $C^0$ 位相における不連続性の問題に取り組み、連続性または Hölder 連続性が回復する条件を同定すること。
• 既知の解析的設定からの結果を、有限回微分可能な設定へと拡張し、$C^k$ 正則性のための閾値滑らかさ $k$ を同定すること。
• 小さな $C^k$ ポテンシャル下での準周期的シュレーディンガー作用素における状態密度の統合に対する結果を導出すること。

提案手法

• コックスの $C^k$ 同相写像が定数行列に近づく、ほぼ可約性の概念を用いる。
• ディオファントス周波数条件に依存する KAM 型反復スキームを用いて、コックスを定数に近い形に同相写像する。
• 適切な減衰性と正則性を持つ関数のバナッハ空間上で非線形陰関数定理を適用し、同相写像方程式を解く。
• 線形化作用素 $D_Y\Psi(0,0)$ の摂動的解析を実施し、そのノルムに下界が存在することを示す。
• 反復手続きにおける誤差項を制御するためのブートストラップ論法を用い、$k$ が十分に大きい $C^k$ 正則性のもとで収束を保証する。
• 線形化方程式における共振部と非共振部を分離するために、固有値射影および分解技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさ $k$ および周波数 $\alpha$ がどのような条件下で、$C^k$ 準周期的 $SL(2,\mathbb{R})$ コックスのリャプノフ指数が $1/2$-Hölder 連続になるか。
• RQ2 有限回微分可能なコックスにおいて、ほぼ可約な領域でリャプノフ指数の $1/2$-Hölder 連続性が確立可能か。
• RQ3 リャプノフ指数の $1/2$-Hölder 連続性が、準周期的シュレーディンガー作用素における状態密度の統合の同じ正則性を示唆するか。
• RQ4 リャプノフ指数の $1/2$-Hölder 連続性を達成するための最小滑らかさ $k$ は、ディオファントス指数 $\tau$ に対してどのように定まるか。
• RQ5 パラメータ $\lambda$ が小さいとき、ポテンシャル $V$ の滑らかさは、状態密度の統合の正則性にどのように影響するか。

主な発見

• ディオファントス周波数 $\alpha \in \mathrm{DC}(\kappa,\tau)$ の下で、$k > D_0 \tau$ を満たす $k$ に対して、ほぼ可約領域においてリャプノフ指数は $1/2$-Hölder 連続である。
• 推定式 $|L(\alpha,A) - L(\alpha,B)| \leq C_0 \|B - A\|_0^{1/2}$ における Hölder 定数 $C_0$ は、$d$, $\kappa$, $\tau$ のみに依存し、特定のコックスには依存しない。
• ポテンシャル $V$ が $C^{k'}$ で $k' \geq D_0 \tau$ かつ $\lambda$ が十分に小さいとき、状態密度の統合は $1/2$-Hölder 連続である。
• この条件下で $1/2$-Hölder 連続性を改善することはできないため、結果は鋭い。
• 反復的 KAM スキームにおける誤差項の精密な制御を伴う、非線形陰関数定理を同相写像方程式に適用する。
• この設定において、リャプノフ指数の $1/2$-Hölder 連続性を達成するための最小滑らかさ閾値 $k \geq D_0 \tau$ は最適である。