[論文レビュー] Sharp inequalities which generalize the divergence theorem--an extension of the notion of quasiconvexity, with an addendum

Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Composite Material Mechanics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$Q^*$-凸性という新しい概念を導入することで、二次関数のより広いクラスに準凸性を拡張し、勾配およびベクトルポテンシャルの高階導関数を含む二次形式の積分に対する鋭い不等式を可能にした。主な貢献は、極値の $Q^*$-凸関数を生成するアルゴリズムを提供することであり、長年の未解決問題であった極値の準凸二次関数の構成を解決した。

ABSTRACT

Subject to suitable boundary conditions being imposed, sharp inequalities are obtained on integrals over a region $Ω$ of certain special quadratic functions $f(\bf{E})$ where $\bf{E}(\bf{x})$ derives from a potential $\bf{U}(\bf{x})$. With $\bf{E}= abla\bf{U}$ it is known that such sharp inequalities can be obtained when $f(\bf{E})$ is a quasiconvex function and when $\bf{U}$ satisfies affine boundary conditions (i.e., for some matrix $\bf{D}$, $\bf{U}=\bf{D}\bf{x}$ on $\partialΩ$). Here we allow for other boundary conditions and for fields $\bf{E}$ that involve derivatives of a variety orders of $\bf{U}$. We define a notion of convexity that generalizes quasiconvexity. $Q^*$-convex quadratic functions are introduced, characterized and an algorithm is given for generating sharply $Q^*$-convex functions. We emphasize that this also solves the outstanding problem of finding an algorithm for generating extremal quasiconvex quadratic functions. We also treat integrals over $Ω$ of special quadratic functions $g(\bf{J})$ where $\bf{J}(\bf{x})$ satisfies a differential constraint involving derivatives with, possibly, a variety of orders. The results generalize an example of Kang and the author in three spatial dimensions where $\bf{J}(\bf{x})$ is a $3 imes 3$ matrix valued field satisfying $ abla\cdot\bf{J}=0$. In the addendum the paper is clarified. Notably, much more general boundary conditions are given under which sharp lower bounds on the integrals of certain quadratic functions of the fields can be obtained. As a consequence, strict $Q^*$-convexity is found to be an appropriate condition to ensure uniqueness of the solutions of a wide class of partial differential equations with constant coefficients, in a given domain $Ω$ with appropriate boundary conditions.

研究の動機と目的

• 線形汎関数の古典的ケースを超えて、ポテンシャルから導かれる場の二次関数の積分に対する鋭い不等式を導出することにより、発散定理を一般化すること。
• 既存理論における制限を克服するため、高階導関数および非アフィン境界条件を扱えるように、準凸性の概念を拡張すること。
• 極値の準凸二次関数を構成するという未解決問題を、$Q^*$-凸関数の導入と特徴付けによって解決すること。
• 微分制約を満たす場に適用可能な、$Q^*$-凸二次関数を生成する体系的なアルゴリズムを提供すること。
• ポテンシャルから導かれる場と発散なし場を含む結合系に一般化し、材料科学および均質化への応用を想定すること。

提案手法

• 微分制約に関連する特定の部分空間上で二次形式の非負性を要求する、準凸性の一般化として $Q^*$-凸性を導入する。
• 微分作用素の核を含む一般化されたリーマン＝ハダール条件を用いて、$Q^*$-凸二次関数を特徴付ける。
• 基本行列から段階的にランク1の半正定値テンソルを減算することで、極値の $Q^*$-凸関数を逐次構成する反復的アルゴリズムを開発する。
• フーリエ解析と周期的場の分解を用いて、不等式の鋭さを保証する $Q^*$-特別場を導出し、鋭さを裏付ける。
• 任意の次数の微分作用素を介してポテンシャルから導かれる場、および発散なし電流場に理論を適用する。
• 二次形式が $Q^*$-凸または限界的 $Q^*$-凸であるとき、鋭い不等式が成り立ち、非定数の特別場で等号が成立することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散定理やアフィン境界条件を超えて、勾配に類する場の二次関数の積分に対する鋭い不等式をどのように一般化できるか？
• RQ2 高階導関数を含む状況で鋭い境界を得るための、準凸性の適切な一般化とは何か？
• RQ3 極値の準凸二次関数を生成するアルゴリズムを構築可能か？また、$Q^*$-凸性とはどのように関係するか？
• RQ4 ポテンシャルから導かれる場と発散なし電流場の結合系に対して、鋭い不等式が成り立つ条件は何か？
• RQ5 等式のみを扱うノルムラグランジアンの理論を、等号ではなく鋭い不等式を含むようにどのように拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の次数のポテンシャルから導かれる場の二次関数に適用可能な、準凸性の一般化として $Q^*$-凸性を導入した。
• 基盤行列から段階的にランク1の半正定値テンソルを減算し、$Q^*$-凸性が保たれなくなるまで繰り返すことで、極値の $Q^*$-凸二次関数を生成するアルゴリズムを提供した。
• 二次形式が限界的 $Q^*$-凸であり、テストベクトルが関連作用素の像に属する場合、不等式の上界は無限大に達する。これは鋭さを示している。
• ${f E} = abla^k {f U}$ および $ abla ullet {f J} = 0$ を満たす場 ${f J}$ に対して、二次形式 $f({f E})$ と $g({f J})$ の積分について鋭い不等式を確立した。これは、Kang と Milton が得た結果を一般化したものである。
• $ ilde{f E}$ がポテンシャルから導かれる場で、${f J}$ が発散なし場であるような結合系 $h( ilde{f E}, {f J})$ に対しても、$Q^*$-凸性のもとで鋭い境界を得た。
• 非定数の $Q^*$-特別場で不等式の等号が成立することを確認し、境界の鋭さを裏付け、その実現方法を構成的に提供した。