[論文レビュー] Sharp pointwise-in-time error estimate of L1 scheme for nonlinear subdiffusion equations

Dongfang Li, Hongyu Qin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間分数階Caputo微分を伴う非線形劣拡散方程式にL1スキームを適用した場合の、鋭い時刻別点での誤差推定を確立する。一般の解の正則性 $ olimits \sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ の下で、修正された離散的分数階型Grönwall不等式を導入し、誤差の伝搬を制御するとともに、不連続な解の性質を考慮した詳細な切捨て誤差解析を実施した。その結果、$ olimits \sigma < \alpha$ の場合に $ olimits \mathcal{O}(\tau^{\sigma+1-\alpha} t_n^{\alpha-1})$、$ olimits \sigma = \alpha$ の場合に $ olimits \mathcal{O}(\tau t_n^{\alpha-1})$ の最適収束速度が得られ、数値実験によってその妥当性が確認された。

ABSTRACT

An essential feature of the subdiffusion equations with the $α$-order time fractional derivative is the weak singularity at the initial time. The weak regularity of the solution is usually characterized by a regularity parameter $σ\in (0,1)\cup(1,2)$. Under this general regularity assumption, we here obtain the pointwise-in-time error estimate of the widely used L1 scheme for nonlinear subdiffusion equations. To the end, we present a refined discrete fractional-type Grönwall inequality and a rigorous analysis for the truncation errors. Numerical experiments are provided to demonstrate the effectiveness of our theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 非線形劣拡散方程式に $\alpha$ 階時間分数微分を含むL1スキームの鋭い時刻別点での誤差推定を確立すること。
• 時間 $t=0$ における弱特異性を示す非滑らかな解（正則性パラメータ $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$）に対処すること。
• 離散畳み込みにおける変動する切捨て誤差と非線形性に起因する非単調な誤差進化に起因する困難を克服すること。
• 一般の正則性仮定の下で、非線形劣拡散問題に対するL1スキームの点での誤差解析を初めて厳密に提供すること。
• 理論的結果を数値実験により検証し、理論的予測と一致する収束次数を示すこと。

提案手法

• 領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 上で、Caputo時間微分 $\partial_t^\alpha u - \Delta u = f(u)$ を含む非線形劣拡散問題を定式化する。
• 時間方向に等間隔メッシュを用い、時間離散化にL1スキーム、空間微分に中心差分法を適用する。
• 弱い解の正則性下でも誤差伝搬を制御できるように、修正された離散的分数階型Grönwall不等式を構築する。
• 解の不連続性に起因する時間レベル依存性を考慮した詳細な切捨て誤差解析を実施する。
• エネルギー型推定と新規に導入したGrönwall不等式を組み合わせ、最大ノルムにおける時刻別点での誤差境界を導出する。
• 異なる $\sigma$、$\alpha$、メッシュサイズを用いた数値実験により、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性パrameter $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ で特徴づけられる限界的な正則性を持つ解に対して、非線形劣拡散方程式におけるL1スキームの鋭い時刻別点での収束速度は何か？
• RQ2 L1スキームにおける非単調な誤差進化と変動する切捨て誤差に対処できる、改良された離散的分数階型Grönwall不等式を構築できるか？
• RQ3 特に $t \to 0$ および最終時刻 $T$ における時間収束次数は、$\sigma < \alpha$ の場合にどのように振る舞うか？
• RQ4 線形問題と同様の正則性仮定のもとで、非線形劣拡散問題においてL1スキームが最適収束を達成できるか？
• RQ5 理論的収束次数が、異なる次元と非線形性を有する数値実験によって確認されるか？

主な発見

• $\sigma \in (0,\alpha)$ の場合、時刻別点での誤差は $\|u^n - U^n\|_{\infty} \lesssim \tau^{\sigma+1-\alpha} t_n^{\alpha-1} + t_n^{\alpha} h^2$ で有界であり、これは線形問題に対しても初めての推定である。
• $\sigma = \alpha$ の場合、誤差境界は $\|u^n - U^n\|_{\infty} \lesssim \tau t_n^{\alpha-1} + t_n^{\alpha} h^2$ であり、非線形劣拡散方程式に対する最初の鋭い時刻別点推定を確立する。
• 数値実験により、$t_n \to 0$ における時間収束次数が $\sigma < 1$ の場合に $\sigma$、$\sigma = \alpha$ の場合に $\alpha$ に一致することが確認され、理論的予測と整合的である。
• 最終時刻 $t_N = T$ では、$\sigma < 1$ の場合に収束次数が $\sigma + 1 - \alpha$、$1 < \sigma < 2$ の場合に $2 - \alpha$ に漸近することが理論と一致する。
• 空間方向の収束次数は常に $2$ であり、中心差分法の期待される2次精度が裏付けられる。
• 修正された離散的分数階型Grönwall不等式は、誤差蓄積の制御に不可欠であり、弱い正則性下でも鋭い誤差推定を可能にする。