[論文レビュー] Sharpness of improved Fr\'echet-Hoeffding bounds: an optimal transport approach

Daniel Bartl, Michael Kupper+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、与えられた周辺分布とR^dの部分集合における指定された値を有する分布に対する、最適輸送に基づく改善されたFréchet--Hoeffding上限の導出を提供する。制約付き輸送問題の強い双対性を確立し、改善された上限を緩和された問題の双対最適化子として同定することにより、著者たちは、緩和されたFréchetクラスにおけるその上限の鋭さを証明する。

ABSTRACT

The improved Fr\'echet--Hoeffding bounds are ad-hoc estimates on the Fr\'echet class of probability distributions with given marginals and prescribed values on a subset of R d . Using an optimal transport approach, we first provide an alternative derivation of the improved upper bound. To this end, we establish a dual representation of a constrained transport problem over distributions in the aforementioned Fr\'echet class and show that the improved upper Fr\'echet--Hoeffding bound belongs to the class of admissible functions for the dual optimization problem. The proof of strong duality is based on a general representation result for increasing convex functionals and the explicit computation of the conjugates. We show further that the improved upper Fr\'echet--Hoeffding bound is not the dual optimizer of this transport problem. In turn we prove that the improved upper bound is the dual optimizer of a relaxed version of the initial transport problem, thus proving sharpness of the improved upper Fr\'echet--Hoeffding bound for the relaxed Fr\'echet class. This is achieved by direct construction of the dual optimizers for a certain class of objective functions.

研究の動機と目的

• 与えられた周辺分布とR^dの部分集合における指定された値を有する分布に対して、最適輸送理論を用いて改善されたFréchet--Hoeffding上限を再導出すること。
• R^dの部分集合における固定値を有するFréchetクラス上の制約付き輸送問題の双対表現を確立すること。
• 改善された上限が、元の輸送問題の緩和版の双対最適化子であることを証明すること。
• 改善された上限が緩和されたFréchetクラスにおいて鋭いかどうかを示すこと。

提案手法

• 問題を、R^dの部分集合における固定値を有するFréchetクラス上の制約付き最適輸送問題として定式化する。
• 増加凸汎関数と共役双対性を用いて輸送問題の双対表現を確立する。
• 増加凸汎関数の一般的表現結果を適用して強い双対性を証明する。
• 共役の明示的計算により、改善された上界Fréchet--Hoeffding上限が双対問題における許容性を検証する。
• 特定のクラスの目的関数に対して双対最適化子を構成し、上限の最適性を検証する。
• 改善された上限が元の問題の双対最適化子ではなく、緩和されたバージョンの双対最適化子であることを示し、緩和された設定における鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 改善されたFréchet--Hoeffding上限は、最適輸送フレームワークを用いて導出可能か？
• RQ2 R^dの部分集合における固定値を有するFréchetクラス上の制約付き輸送問題に対して、双対表現が存在するか？
• RQ3 この制約付き輸送問題において強い双対性は成立するか？そして共役双対性は証明においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 なぜ改善された上限が元の問題の双対最適化子でないのか？また、緩和されたバージョンにおいてその役割は何か？
• RQ5 改善された上界Fréchet--Hoeffding上限は、緩和されたFréchetクラスにおいて鋭いか？

主な発見

• 改善された上界Fréchet--Hoeffding上限が双対最適化問題において許容可能であることが示され、それが有効な境界であることが確認された。
• 増加凸汎関数の一般的表現結果を用いて、制約付き輸送問題における強い双対性が確立された。
• 改善された上界が元の問題の双対最適化子でないことは、元の問題と緩和された問題の間の構造的差異を示している。
• 改善された上界が、元の輸送問題の緩和版の双対最適化子であることが証明された。
• 双対最適化子の直接構成を通じて、改善された上限が緩和されたFréchetクラスにおいて鋭いかどうかを厳密に確立した。
• 証明は共役の明示的計算に依拠しており、緩和された設定における上限の最適性を示している。