[論文レビュー] Sheaves via augmentations of Legendrian surfaces

Dan Rutherford, Michael G. Sullivan|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1-ジェット空間内のLegendrian曲面に付随する新しい単体的微分代数（DGA）の補完から、$M \times \mathbb{R}$ 上の可 constructible ホロモルフィック層のコチェーン複体を構成する。この構成は、底面多様体の単体的分解からの組み合わせ的データを用い、導来カテゴリ $\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ 内の層への補完からの写像を確立する。これにより、次元2におけるLegendrian接触ホモロジー不変量と微局所層理論との間の予想される関係が、明示的かつ組み合わせ的実現として得られる。

ABSTRACT

Given an augmentation for a Legendrian surface in a $1$-jet space, $Λ\subset J^1(M)$, we explicitly construct an object, $\mathcal{F} \in Sh_Λ$, of the (derived) category from arXiv:1402.0490 of constructible sheaves on $M imes R$ with singular support determined by $Λ$. In the construction, we introduce a simplicial Legendrian DGA (differential graded algebra) for Legendrian submanifolds in $1$-jet spaces that, based on arXiv:1608.02984 and arXiv:1608.03011, is equivalent to the Legendrian contact homology DGA in the case of Legendrian surfaces. In addition, we extend the approach of arXiv:1402.0490 for $1$-dimensional Legendrian knots to obtain a combinatorial model for sheaves in $Sh_Λ$ in the $2$-dimensional case.

研究の動機と目的

• 1-ジェット空間内のLegendrian曲面の補完から、$\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ 内の明示的かつ組み合わせ的層の構成を確立すること。
• 整数係数上の $\mathbb{Z}$-係数で定義された、セルDGAを一般化する単体的DGAを導入し、2で割った剰余環で見たときにLegendrian接触ホモロジーDGAと一致することを示すこと。
• 文献[30]の1次元の絡み目の枠組みを、底面多様体の整合的な単体的分解を用いて、弱いフロント特異点を持つ2次元Legendrian曲面へと拡張すること。
• 固定された基本的層データに対して、層の構成が補完にのみ依存することを示し、対応関係を明示的かつ計算可能なものにする。
• Legendrian曲面上の非自明な局所系を用いて、より高い微局所ランクや非自明なモノドロミーを持つ層への一般化のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 底面多様体 $M$ の整合的な単体的分解 $\mathcal{E}$ を用いて、$\mathbb{Z}$-係数上の単体的DGA $\mathcal{A}(\Lambda, \mathcal{E})$ を導入する。
• 補完の組み合わせ的モデルとしてチェーンホモトピー図式（CHD）を定義し、補完 $\epsilon: \mathcal{A}(\Lambda, \mathcal{E}) \to \mathbb{K}$ とCHDの間の全単射を確立する。
• CHDデータを用いて、セルにベクトル空間を割り当て、インシデント関係にチェーン写像を割り当てることで、$\mathbf{Fun}^\bullet_\Lambda(\mathcal{S}, \mathbb{K})$ 内の組み合わせ的層を構成する。
• 辺および頂点上の単体的図式から一般化された写像シリンダーを構築し、明示的なホモトピー議論により全複体の純粋性を保証する。
• 準同値 $\Gamma_\mathcal{S}: \mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(\mathcal{S}, \mathbb{K}) \to \mathbf{Fun}^\bullet_\Lambda(\mathcal{S}, \mathbb{K})$ を用いて、組み合わせ的層を実際の層複体に持ち上げる。
• 得られた層が、$\Lambda$ 上のラグランジュアンシリンダーに特異的サポートを含むことを確認し、$\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ に属することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のLegendrian曲面のLegendrian接触ホモロジーDGAの補完は、可 constructible 層の導来カテゴリ内に明示的な対象を構成するために使用可能か？
• RQ2 セルDGAを一般化し、$\mathbb{Z}$-係数で定義され、組み合わせ的・局所的かつ公式的なDGA構成が、Legendrian曲面に対して可能か？
• RQ3 1次元の枠組み[30]を拡張して、2次元の場合における補完と層の間の対応関係を明示的かつ計算可能なものにするにはどうすればよいか？
• RQ4 底面多様体の単体的分解が、層の構成を整理し、DGA構造と整合性を持つために果たす役割は何か？
• RQ5 非自明な局所系をLegendrian曲面上に用いることで、より高い微局所ランクや非自明なモノドロミーを持つ層への構成を拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、単体的DGAの補完から、$\mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ 内の層への明確な写像 $\Phi: \mathit{Aug}(\Lambda; \mathbb{K}) \to \mathbf{Sh}^\bullet_\Lambda(M \times \mathbb{R}, \mathbb{K})$ を構成し、接触不変量と層理論との間の直接的な関係を確立する。
• 単体的DGA $\mathcal{A}(\Lambda, \mathcal{E})$ は $\mathbb{Z}$-係数上のDGAとして示され、2で割った剰余環での還元は、既知のセルDGAに一致し、これはLegendrian接触ホモロジーDGAと安定ターミナル同型であることが知られている。
• 層の構成は、固定された基本的層データに対して補完にのみ依存し、微分は補完によって組み合わせ的に決定されるため、明示的かつ明確な実現が保証される。
• 辺および頂点上の単体的図式に関連する全複体の純粋性はホモトピー議論により証明され、これにより得られる層複体が適切に定義されることを保証する。
• 得られた層は微局所ランク1であり、$\mathbb{K}$-係数生成子を $n$ 次元ベクトル空間に置き換えることで、より高いランクの層への一般化が可能である。
• 著者らは、補完から層への写像が、少なくとも $\mathbb{Z}/2$ および $M = \mathbb{R}^2$ の場合に、微局所ランク1で無限遠点におけるストークが純粋な層の部分カテゴリへ本質的に全射であると予想している。