[論文レビュー] Shifted Symplectic and Poisson Structures on Spaces of Framed Maps

Theodore Spaide|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、滑らかでコンpactなスキーム $X$ から導来アーティンスタック $Y$ への枠付き写像の空間に、除法 $D$ 沿いの枠付き構造を持つ shifted symplectic および Poisson 構造を確立する。$\tilde{D} = 2D + E$ である反 canonical 除法を含む条件下で、$Y$ が $n$-shifted symplectic または Poisson 構造を持つ場合、$\operatorname{Map}(X,D,Y)$ は $n-d$-shifted symplectic または Poisson 構造を引き継ぐ。これは、$D$ および $D+E$ 上の写像空間に成り立つあるエタール条件が満たされている場合に成立する。主な貢献は、モジュライ問題における古典的 symplectic および Poisson 構造を統一する導来幾何学的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We examine shifted symplectic and Poisson structures on spaces of framed maps. We prove some results about shifted Poisson structures analogous to those in existing ones about symplectic structures. Then, we consider the space Map(X,D,Y) of maps from X to Y framed along a divisor D. We give conditions under which this space has a shifted symplectic or Poisson structure. Classical examples of symplectic and Poisson structures are provided with this theorem.

研究の動機と目的

• PTVV の shifted symplectic 構造に関する古典的定理を、ファノ型のソースを持つ枠付き写像に拡張すること。
• Lagrangian 関数から導出される shifted Poisson 構造の理論を定義し、発展させること。
• 空間 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ が shifted symplectic または Poisson 構造を持つための十分条件を提供すること。
• Lagrangian および coisotropic 構造を枠付き写像の文脈に一般化し、引き戻しにおいても幾何的構造を保つこと。
• モノポールおよびインスタントンのモジュライ空間といった古典的例を、一般枠組みの特別な場合として回復すること。

提案手法

• 導来アーティンスタック $X$ に $n$-shifted Poisson 構造を、$Y$ が $(n+1)$-shifted symplectic かつ Lagrangian であるような写像 $X \to Y$ として定義する。
• 写像空間 $\operatorname{Map}(X,D,Y,f) = \operatorname{HoFib}_f(\operatorname{Map}(X,Y) \to \operatorname{Map}(D,Y))$ を用いて、枠付き写像の空間を定義する。
• Calabi-Yau 定理の導来版を適用し、$X$ が Calabi-Yau で $Y$ が $n$-shifted symplectic である場合、$\operatorname{Map}(X,Y)$ が $(n-d)$-shifted symplectic 構造を引き継ぐことを示す。
• $\tilde{D} = 2D + E$ が反 canonical である条件を導入し、shifted symplectic 形式の構成を可能にする双対化層の存在を保証する。
• $\operatorname{Map}(D+E,Y) \to \operatorname{Map}(D,Y)$ に成り立つエタール条件を検証し、$\operatorname{Map}(X,D,Y)$ に誘導される構造が symplectic であることを保証する。
• 導来代数的幾何学における coisotropic および Lagrangian 構造を用いて、結果を Poisson 構造およびその準同型へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像空間 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ が $Y$ の shifted symplectic 構造から $n-d$-shifted symplectic 構造を引き継ぐ条件は何か？
• RQ2 導来代数的幾何学において、shifted Poisson 構造はどのように定義され、特徴づけられるのか？また、Lagrangian 関数とはどのような関係にあるか？
• RQ3 反 canonical 条件 $\tilde{D} = 2D + E$ は、枠付き写像空間における shifted symplectic および Poisson 構造の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 空間が symplectic 構造を持つ場合と Poisson 構造を持つ場合の違いは何か？この区別を決定するのは何か？
• RQ5 結果がどのようにして、インスタントンおよびモノポールのモジュライ空間といった古典的モジュライ空間を、一般枠組みの特別な場合として回復するのか？

主な発見

• $Y$ が $n$-shifted symplectic で、写像 $\operatorname{Map}(D+E,Y) \to \operatorname{Map}(D,Y)$ が基本写像 $f$ に対してエタールである限り、空間 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ は $(n-d)$-shifted symplectic 構造を持つ。
• $Y$ が $n$-shifted Poisson であれば、エタール条件が満たされていなくても、$\operatorname{Map}(X,D,Y)$ は $(n-d)$-shifted Poisson 構造を引き継ぐ。
• 同じエタール仮定の下で、$W \to Y$ に Largrangian 構造があれば、$\operatorname{Map}(X,D,W) \to \operatorname{Map}(X,D,Y)$ に対しても Largrangian 構造が引き継がれる。
• $Y$ が $n$-shifted Poisson である場合、$W \to Y$ に coisotropic 構造があれば、$\operatorname{Map}(X,D,W) \to \operatorname{Map}(X,D,Y)$ に対しても coisotropic 構造が引き継がれる。
• $Y = BG$ の場合、空間 $\operatorname{Map}(\mathbb{P}^1, p, G/P)$ は $0$-shifted Poisson 構造を持つ。$P$ がボレル部分群であれば、実際には symplectic である。
• $X = \mathbb{P}(\mathcal{O}_W \oplus T^\vee W)$ かつ $Y = BGL_n$ の場合、空間 $\operatorname{Map}(X,D,BGL_n,F)$ は $(1-d)$-shifted Poisson 構造を持つ。$H^*(\mathcal{H}om(F,F) \otimes \mathcal{O}_D(-i)) = 0$ が $1 \leq i \leq d-1$ に対して成り立つならば、symplectic になる。