[論文レビュー] Shock Wave Interactions in General Relativity: The Geometry behind Metric Smoothing and the Existence of Locally Inertial Frames

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における $C^{0,1}$（リプシッツ連続）な時空計量が座標変換によって $C^{1,1}$ に滑らかにできるための必要十分条件を確立している。この滑らかさの可能性は、計量接続の特異的成分が近傍でリーマン平坦な接続に拡張できるかどうかに依存する。また、計量を滑らかにできない場合でも、球対称衝撃波時空では局所的慣性系が存在することを示しており、Glimmスキームに関する新たな正則性結果を提供する。

ABSTRACT

We prove a necessary and sufficient condition for determining the essential smoothness of weak solutions of the Einstein equations at apparent singularities where the gravitational metric tensor is only Lipschitz continuous, but the tensor is in $L^{\infty}$, a regularity so low that locally inertial frames might not exist. Namely, we prove that the question whether there exists a coordinate transformation which smooths a metric from $C^{0,1}$ to $C^{1,1}$ in a neighborhood of a point is equivalent to the condition that the singular part of the metric connection can be extended to a Riemann flat connection in that neighborhood. This applies to shock-wave solutions in General Relativity, and the framework leads to a definition of the curvature of the singular part of a connection, (i.e., the of the shock-set), and we prove that this vanishes if and only if the spacetime metric can be smoothed within the $C^{1,1}$ atlas. As an application of our method we prove that locally inertial frames always exist in a natural sense for shock wave metrics in spherically symmetric spacetimes, a new regularity result for the Glimm scheme, independent of whether the metric itself can be smoothed in a neighborhood.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における $C^{0,1}$ 計量が座標変換によって $C^{1,1}$ に滑らかにできるための幾何的条件を特定すること。
• 特に時空内の衝撃波面における接続の特異的成分の曲率を定義し、分析すること。
• 計量の滑らかさとは独立に、球対称衝撃波解における局所的慣性系の存在を確立すること。
• 一般相対性理論における衝撃波相互作用の文脈で、Glimmスキームに関する新たな正則性結果を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$C^{0,1}$ 正則性を示す点における計量接続の構造を分析し、特に接続の特異的成分に注目する。
• 幾何的条件を導入する：計量が $C^{1,1}$ に滑らかにできるための必要十分条件は、近傍で接続の特異的成分がリーマン平坦な接続に拡張できることである。
• 特異接続の曲率を厳密に定義し、滑らかさが可能である場合に限りその曲率が消えることを示す。
• この手法は、一般相対性理論における衝撃波解、特に球対称時空に適用可能である。
• 微分幾何学の道具とアインシュタイン方程式の弱解の枠組みを用い、$L^∞$-正則計量に焦点を当てる。
• $C^{1,1}$ 座標アトラスの存在と特異接続のリーマン平坦性との間の同値性に依拠する分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における $C^{0,1}$ 時空計量が座標変換によって $C^{1,1}$ に滑らかにできるための幾何的条件は何か？
• RQ2 弱解としてのアインシュタイン方程式の文脈において、接続の特異的成分の曲率を意味的に定義できるか？
• RQ3 衝撃波時空における局所的慣性系の存在は、計量の滑らかさに依存するか？
• RQ4 球対称時空における衝撃波解に対して、Glimmスキームに適用可能な正則性結果は存在するか？

主な発見

• $C^{0,1}$ 計量は、近傍で計量接続の特異的成分がリーマン平坦な接続に拡張できる場合に限り、$C^{1,1}$ に滑らかにできる。
• 特異接続の曲率が消えるのは、$C^{1,1}$ アトラス内での計量の滑らかさが可能である場合に限る。
• 球対称時空における衝撃波計量では、計量が $C^{1,1}$ でない場合でも、自然な意味で局所的慣性系が存在する。
• この結果は、計量の滑らかさとは独立に、Glimmスキームに対する新たな正則性保証を提供する。
• この枠組みは、一般相対性理論における弱解に適用可能な、必要かつ十分な計量滑らか化の幾何的基準を提供する。