[論文レビュー] Short-time expansions for close-to-the-money options under a Lévy jump model with stochastic volatility

José E. Figueroa‐López, Sveinn Ólafsson|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Lévy跳躍フレームワーク下で、原資産価格が満期に満期に近いストライク価格および確率的ボラティリティモデルに対する、オプション価格の2次短時間展開を、ATM（原資産価格とストライク価格が等しい）状況から近接するストライク価格へと拡張する。本稿では、Lévy密度に対する最小限の可積分性条件のもとで展開が有効であることを確立し、ブラウン運動成分が平均回帰的ボラティリティ過程に置き換えられる独立した確率的ボラティリティモデルへ一般化された結果が得られ、同じ漸近的構造を保ちつつ、ボラティリティパラメータを調整する。

ABSTRACT

In Figueroa-López et al. (2013), a second order approximation for at-the-money (ATM) option prices is derived for a large class of exponential Lévy models, with or without a Brownian component. The purpose of this article is twofold. First, we relax the regularity conditions imposed in Figueroa-López et al. (2013) on the Lévy density to the weakest possible conditions for such an expansion to be well defined. Second, we show that the formulas extend both to the case of "close-to-the-money" strikes and to the case where the continuous Brownian component is replaced by an independent stochastic volatility process with leverage.

研究の動機と目的

• 先行研究におけるATMオプションの短時間展開におけるLévy密度の正則性条件を、可能な限り弱い仮定へ緩和すること。
• Lévy跳躍モデル下で、ATMから近接するストライク価格への2次短時間展開を拡張すること。
• ブラウン運動成分がレバレッジを伴う独立した確率的ボラティリティ過程に置き換えられるモデルへ結果を一般化すること。
• 特に、∫|x|≤1 |x|−Y |1−q̄(x)| dx < ∞ という最小可積分性条件のもとで展開の有効性を確立すること。
• 定数ボラティリティが、ドリフトおよび拡散係数を持つSDEに従う確率的ボラティリティ過程に置き換えられる場合、漸近的公式がどのように変化するかを示すこと。

提案手法

• Lévy-Khintchine表現に基づく摂動法を用いて、近接ストライクオプションの2次短時間展開を導出する。
• 正則性が低いLévy過程を扱うために、q̄(x)に関する強い条件（1.5）を満たす過程への切断および近似技術を用いる。
• Girsanov型変換および時間変換付きブラウン運動技術を用いて、ボラティリティ過程が有界区間から抜ける確率を分析する。
• 反射原理およびブラウン運動の累積上限のBessel過程推定を用いて、抜けるまでの時間の指数的尾部バインドを確立する。
• 測度変換および局所マルティンゲール表現を用いて、ボラティリティ過程が領域から抜ける確率を制御し、任意のk ∈ ℕに対してO(t^k)のオーダーでの可積分性および減衰率を保証する。
• 得られたオプション価格展開が、ブラウン運動の場合と同一の関数的形を保ち、ボラティリティパラメータσが確率的ボラティリティ過程の統合ボラティリティに置き換えられることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ATMオプションの2次短時間展開は、Lévy跳躍モデル下で満期に近いストライク価格へ拡張可能か？
• RQ2 2次展開が適切に定義されるために、Lévy密度に必要な最小限の条件は何か？
• RQ3 定数拡散成分が独立した確率的ボラティリティ過程に置き換えられる場合、展開は依然として有効か？
• RQ4 確率的ボラティリティが導入された場合、特に展開におけるボラティリティパラメータはどのように変化するか？
• RQ5 |1−q̄(x)|の原点近傍での可積分性のみを仮定するなど、Lévy密度に対する正則性仮定を弱めることが可能か？

主な発見

• ATMオプションの2次短時間展開は、∫|x|≤1 |x|−Y |1−q̄(x)| dx < ∞ という同じ最小可積分性条件のもとで、満期に近いストライク価格に対しても有効である。
• 先行研究における正則性条件（1.3）は実質的に不要であることが示され、展開は定義可能性のための最小限の条件のもとで成立する。
• ブラウン運動が独立した拡散過程（V_t）に置き換えられるモデルへも展開が拡張可能であり、SDE（1.6）–（1.7）を満たす。
• 漸近的公式の構造はそのままであり、定数ボラティリティσが確率的ボラティリティ過程の統合ボラティリティに置き換えられ、同じ収束速度が保たれる。
• ドリフトおよび拡散係数の弱い正則性のもとで、ボラティリティ過程が有界区間から抜ける確率は、初期条件に一様に、任意の多項式より速く減少する。
• 主な技術的ステップは、時間変換付きブラウン運動の構築と、Bessel過程推定を用いた抜けるまでの時間の確率のバインドであり、任意のk ∈ ℕに対してO(t^k)のオーダーでの指数的減衰が得られる。