[論文レビュー] Short time solution to the master equation of a first order mean field game system

Sergio Mayorga|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかで凸でないハミルトニアンおよび走行コストと初期コストの単調性や凸性の仮定なしに、1階平均場ゲームのマスターエンジンの短時間古典的解の存在を確立する。固定点法とウォッサースタイン空間における特徴線法を用いて、先行研究をより広いクラスのハミルトニアンへと拡張し、値関数およびそのウォッサースタイン微分の時間局所的正則性を証明する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to show existence of short-time classical solutions to the so called Master Equation of \emph{first order} Mean Field Games, which can be thought of as the limit of the corresponding master equation of a stochastic mean field game as the individual noises approach zero. Despite being the equation of an idealistic model, its study is justified as a way of understanding mean field games in which the individual players'~randomness is negligible; in this sense it can be compared to the study of ideal fluids \cite{gangboberkeleynotes}. We restrict ourselves to potential mean field games but do not impose any monotonicity conditions on the running and initial costs, and we do not require convexity of the Hamiltonian, thus extending the result of \cite{mfgmain} to a considerably broader class of Hamiltonians.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンの凸性やコスト関数の単調性を仮定しない、1階平均場ゲームのマスターエンジンに対する短時間古典的解の存在を確立すること。
• GangboとŚwięch (2015) が取り扱った2次ハミルトニアンの場合の既知の存在結果を、顕著に広いクラスの滑らかで凸でないハミルトニアンへと拡張すること。
• 滑らかな係数を有する決定的平均場ゲームの文脈において、値関数およびそのウォッサースタイン微分の正則性を分析すること。
• 確率測度の空間における固定点法と特徴線方程式を用いて、マスターエンジンを解くための厳密な枠組みを構築すること。
• 最小限の個別的ノイズを伴う平均場ゲームに対して、流体力学における理想流体の研究に類似したPDE理論的基盤を提供すること。

提案手法

• マスターエンジンを、値関数のウォッサースタイン勾配を含む、積空間 $(0,T) \times \mathbb{T}^d \times \mathscr{P}(\mathbb{T}^d)$ 上の非局所的かつ無限次元のPDEとして定式化する。
• MFG系から導かれる方程式系に対して固定点法を適用し、関連する特徴線ODEの解の存在と正則性に依存する。
• 特徴線に沿って値関数をパラメトライズする写像 $\Sigma[s,\cdot](t,q)$ の正則性を、流れ写像の離散化版を用いて確立する。
• ウォッサースタイン微分の連鎖則を用いて、値関数の正則性をマスターエンジンの解へと伝播させる。
• 2回微分可能性の概念をウォッサースタイン空間に適用し、$\nabla_\mu u$ および $\nabla^2_{\mu\mu} u$ の使用を含め、結合項を分析する。
• 結合関数 $F$ および $g$ の経路に沿った勾配構成を実装し、マスターエンジンの構造と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1階平均場ゲームのマスターエンジンに対する古典的解が、ハミルトニアンの凸性を仮定せずに構成可能か？
• RQ2 ハミルトニアンが非凸である場合に、走行コスト $F$ および初期コスト $g$ にどのような条件を課せば、解の短時間存在が保証されるか？
• RQ3 確率的ノイズが存在しない状況下で、値関数およびそのウォッサースタイン微分の正則性は特徴線に沿ってどのように伝播するか？
• RQ4 固定点法は、平均場ゲーム理論に現れる無限次元的かつ非局所的なPDEに、どの程度適応可能か？
• RQ5 2次ハミルトニアンの場合に限らない、一般の滑らかで非凸なハミルトニアンへの存在結果の拡張は可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の滑らかで凸でないハミルトニアン $H$ に対して、$F$ や $g$ の単調性を仮定しない短時間古典的解の存在を証明する。
• 解は特徴線系に固定点法を適用することで構成され、十分に小さい $T > 0$ に対して時間局所的解の存在が保証される。
• 値関数 $u(s,q,\mu)$ がウォッサースタイン意味で2回連続的に微分可能であり、$\nabla_\mu u$ および $\nabla^2_{\mu\mu} u$ が適切に定義され、連続であることが示される。
• 特徴線に沿って値関数の進化を追跡する写像 $\Sigma[s,\cdot](t,q)$ の正則性は、離散化された流れ写像と逆関数定理の議論によって確立される。
• 結合項の経路に沿った勾配 $\nabla_\mu \mathcal{W}(\mu)$ は、$L^2(\mu)$-近似可能であり、ウォッサースタイン微分の定義と整合的であることが示される。
• GangboとŚwięch (2015) が取り扱った2次ハミルトニアン $H(q,p) = \frac{1}{2}|p|^2$ の場合に限らない結果を、滑らかで凸でないハミルトニアンの広いクラスへと一般化する。