[論文レビュー] Some completely monotonic properties for the $(p,q )$-gamma function

Valmir Krasniqi, Faton Merovcı|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、古典的ガンマ関数およびディガマ関数の一般化として、$(p,q)$-ガンマ関数および$(p,q)$-ディガマ関数の完全モノトニック性および対数的完全モノトニック性を確立している。特定のパrameter条件の下で、$(p,q)$-ディガマ関数および関連する比が完全モノトニックであることを証明し、$p \to \infty$および$q \to 1$の極限で既知の結果が回復されることを示している。主な貢献は、$q$-および$p$-変形特殊関数における単一の枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

It is defined $Γ_{p,q}$ function, a generalize of $Γ$ function. Also, we defined $ψ_{p,q}$-analogue of the psi function as the log derivative of $Γ_{p,q}$. For the $Γ_{p,q}$ -function, are given some properties related to convexity, log-convexity and completely monotonic function. Also, some properties of $ψ_{p,q} $ analog of the $ψ$ function have been established. As an application, when $p o \infty, q o 1,$ we obtain all result of \cite{Valmir1} and \cite{SHA}.

研究の動機と目的

• $(p,q)$-変形ガンマ関数およびディガマ関数への完全モノトニック関数の理論を拡張すること。
• $(p,q)$-ディガマ関数および関連比が完全モノトニックまたは対数的完全モノトニックであるための十分条件を確立すること。
• $p \to \infty$および$q \to 1$の極限において、$q$-ガンマ関数および$p$-ガンマ関数から古典的結果を回復すること。
• $q$-および$p$-変形特殊関数における単調性の統一的枠組みを提供することにより、不等式および漸近的解析に応用可能であるようにすること。

提案手法

• $\Gamma_{p,q}(x)$ を、$q$-整数および$p$-階乗を用いた古典的ガンマ関数の二パラメータ一般化として定義する。
• $\psi_{p,q}(x)$ を $\Gamma_{p,q}(x)$ の対数微分として導入し、その積分表現および級数表現を導出する。
• 級数展開を用いて導関数の符号を分析することで、$q > 0$ および $x > 0$ の下で $\psi_{p,q}^{(k)}(x)$ が完全モノトニックであることを証明する。
• $\Gamma_{p,q}$ を用いて定義される比 $h_{\beta,p,q}(x)$ が、$s > t$ のとき $(-\alpha, \infty)$ 上で対数的完全モノトニックであることを、積分表現および積分の下での微分を用いて確立する。
• 可換図式構造を用いて、$p \to \infty$ のとき $\Gamma_{p,q}(x) \to \Gamma_q(x)$ および $q \to 1$ のとき $\Gamma_{p,q}(x) \to \Gamma_p(x)$ であることを示し、既知の極限と整合性があることを保証する。
• 結果を応用して、$f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$ に対する不等式を導出し、係数および符号の制約の下での単調性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)$-ディガマ関数 $\psi_{p,q}(x)$ が $(0, \infty)$ 上で完全モノトニックであるための条件は何か？
• RQ2 $\Gamma_{p,q}$ を用いて定義される比 $h_{\beta,p,q}(x)$ が $(-\alpha, \infty)$ 上で対数的完全モノトニックであるのはいつか？
• RQ3 $p \to \infty$ および $q \to 1$ の極限において、$\psi_{p,q}(x)$ の単調性特性が古典的 $\psi(x)$ および $\psi_q(x)$ 関数のそれらとどのように関係するか？
• RQ4 係数制約 $ef \geq bc > 0$ および $\psi_{p,q}(a+bx) > 0$ の下で、関数 $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$ に対してどのような不等式が導けるか？
• RQ5 $(p,q)$-ガンマ関数を用いて、[21] における古典的ガンマ関数の既知の不等式を一般化できるか？

主な発見

• $\psi_{p,q}(x)$ はすべての $q > 0$ および $p \in \mathbb{N}$ に対して $(0, \infty)$ 上で厳密に完全モノトニックであり、すべての $n \geq 0$ および $x > 0$ に対して $(-1)^n \psi_{p,q}^{(n)}(x) > 0$ が成り立つ。
• $s > t$ のとき、$h_{\beta,p,q}(x)$ は $(-\alpha, \infty)$ 上で対数的完全モノトニックであり、すべての $k \geq 1$ に対して $(-1)^k [\ln h_{\beta,p,q}(x)]^{(k)} \geq 0$ が成り立つ。
• $f_1(x) = \Gamma_{p,q}(a+bx)^c / \Gamma_{p,q}(d+ex)^f$ に対して、$ef \geq bc > 0$ および $\psi_{p,q}(a+bx) > 0$ または $\psi_{p,q}(d+ex) > 0$ のとき、$[0, \infty)$ 上で減少する。$x \in [0,1]$ の範囲で、二重不等式 $\Gamma_{p,q}(a+b)^c / \Gamma_{p,q}(d+e)^f \leq f_1(x) \leq \Gamma_{p,q}(a)^c / \Gamma_{p,q}(d)^f$ が成り立つ。
• $bc \geq ef > 0$ および $\psi_{p,q}(d+ex) < 0$ または $\psi_{p,q}(a+bx) < 0$ のとき、$f_1(x)$ は $[0, \infty)$ 上で減少し、$[0,1]$ で同じ二重不等式が成り立つ。
• $p \to \infty$ および $q \to 1$ の極限において、[12] および [21] の既知の定理が回復され、古典的特殊関数論と整合性があることが確認された。
• $0 < q < 1$ のときの級数表現 $\psi_{q}^{(k)}(x) = \log^{k+1} q \sum_{n \geq 1} \frac{n^k q^{nx}}{1 - q^n}$ は、$\psi_q^{(k)}(x)$ の完全モノトニック性を確認する。この性質は、$p$-変形を介して $(p,q)$-ケースに拡張される。