[論文レビュー] Shortest Path in a Polygon using Sublinear Space

Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、部分線形空間と部分二次時間で単純多角形内の最短経路を計算するための新しいアルゴリズムを提示する。多角形を O(n/m) 個のサイズ O(m) のcorridorに分解し、violator spaceにおけるSeidelの線形計画法アルゴリズムの修正版（定数空間版）を用いることで、O(n²/m) の期待時間で実行可能であり、O(m) の作業メモリを用いる。これは、Asanoが提起した、二次的プリプロセッシングを回避するという未解決問題を解決する。

ABSTRACT

$ enewcommand{\Re}{{ m I\!\hspace{-0.025em} R}} ewcommand{\SetX}{\mathsf{X}} ewcommand{\VorX}[1]{\mathcal{V} \pth{#1}} ewcommand{\Polygon}{\mathsf{P}} ewcommand{\Space}{\overline{\mathsf{m}}} ewcommand{\pth}[2][\!]{#1\left({#2} ight)}$ We resolve an open problem due to Tetsuo Asano, showing how to compute the shortest path in a polygon, given in a read only memory, using sublinear space and subquadratic time. Specifically, given a simple polygon $\Polygon$ with $n$ vertices in a read only memory, and additional working memory of size $\Space$, the new algorithm computes the shortest path (in $\Polygon$) in $O( n^2 /\, \Space )$ expected time. This requires several new tools, which we believe to be of independent interest.

研究の動機と目的

• Tetsuo Asanoが提起した、二次的プリプロセッシングを伴わない多角形内の最短経路計算という未解決問題を解決すること。
• m < n/log²n を満たす条件下で、O(m) の作業メモリと部分二次時間で動作するアルゴリズムを設計すること。
• 埋め込みシステムやストリーミング環境などの制限付きメモリ環境でも効率的な最短経路計算を可能にすること。
• 幾何最適化に応用可能な、空間効率の良いviolator space問題の解決法を開発すること。

提案手法

• 中点軸に基づくcorridor分解を用いて、多角形を O(n/m) 個のcorridorに分解する。
• Seidelの確率的線形計画法アルゴリズムの修正版を用い、violator space問題を期待線形時間、O(1) 空間で解く。
• 真のランダム順列の代わりに擬似ランダム列を用いることで、定数空間を維持しつつ期待性能を保つ。
• 修正されたアルゴリズムに対してバックワード解析を適用し、擬似ランダム列を用いる場合でも正しさを保証する。
• corridorを反復的に走査し、ファンネル構造を維持しながら、ファンネル簡約を用いて最短経路を追跡する。
• 正規分解における点位置照会を用いて次のcorridorを特定し、violator spaceフレームワークを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次的プリプロセッシングを伴わず、O(m) の作業メモリのみで最短経路を部分二次時間で計算できるか？
• RQ2 O(1) 空間のみでviolator space問題を期待線形時間で解けるか？
• RQ3 真のランダム順列の代わりに擬似ランダム列を用いる場合、バックワード解析は依然として有効か？
• RQ4 corridor分解を用いることで、幾何的最短経路計算における空間-時間トレードオフを改善できるか？

主な発見

• m = O(n/log²n の条件下で、O(n²/m) の期待時間で最短経路を計算可能であり、作業メモリはO(m)である。
• Seidelのアルゴリズムを修正し、擬似ランダム列を用いることで、violator space問題をO(1) 空間で期待線形時間で解ける。
• 擬似ランダム列を用いる場合でもバックワード解析が有効であり、正しさと期待性能が保証される。
• ファンネル簡約ステップは1corridorあたりO(log m)回の照会を要するが、サイズO(m/4)で停止することで、1corridorあたり定数回の照会に最適化可能である。
• 一般のmに対して全体の実行時間はO(n²/m + n log m log⁴(n/m)) であり、m = O(n/log²n の場合、O(n²/m) に改善される。
• 本手法により、二次的プリプロセッシングの必要性を排除しつつ部分二次時間複雑性を維持することで、Asanoの未解決問題が解決された。