[論文レビュー] Dynamic algorithms for visibility polygons.

R. Inkulu, K. Sowmya|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

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ひとこと要約

本稿では、頂点の挿入および削除の下で単純多角形内の可視性領域および弱可視性領域を動的に維持・照会するアルゴリズムを提示する。組合せ的変化を活用し、初期多角形を事前処理することで、出力に依存する更新と照会を達成し、可視性構造の効率的で動的な維持を保証する。

ABSTRACT

We devise the following dynamic algorithms for both maintaining as well as querying for the visibility and weak visibility polygons amid vertex insertions and/or deletions to the simple polygon. * A fully-dynamic algorithm for maintaining the visibility polygon of a fixed point located interior to the simple polygon amid vertex insertions and deletions to the simple polygon. The time complexity to update the visibility polygon of a point $q$ due to the insertion (resp. deletion) of vertex $v$ to (resp. from) the current simple polygon is expressed in terms of the number of combinatorial changes needed to the visibility polygon of $q$ due to the insertion (resp. deletion) of $v$. * An output-sensitive query algorithm to answer the visibility polygon query corresponding to any point $p$ in $\mathbb{R}^2$ amid vertex insertions and deletions to the simple polygon. If $p$ is not exterior to the current simple polygon then the visibility polygon of $p$ is computed. Otherwise, our algorithm outputs the visibility polygon corresponding to the exterior visibility of $p$. * An output-sensitive algorithm to compute the weak visibility polygon corresponding to any query line segment located interior to the simple polygon amid both the vertex insertions and deletions to the simple polygon. Each of these algorithms require preprocessing the initial simple polygon. And, the algorithms that maintain the visibility polygon (resp. weak visibility polygon) compute the visibility polygon (resp. weak visibility polygon) with respect to the initial simple polygon during the preprocessing phase.

研究の動機と目的

• 単純多角形の頂点が動的に挿入または削除される中で、固定された内部点の可視性領域を効率的に維持する課題に対処すること。
• 動的頂点変更の下で、平面上の任意の点が多角形内または外にあるかに関わらず、その可視性領域を計算する照会アルゴリズムを設計すること。
• 動的フレームワークを拡張し、頂点の挿入および削除の下で多角形内に存在する照会線分の弱可視性領域を動的に計算すること。
• すべての動的操作が、可視性構造への組合せ的変化の数にのみ依存する出力に依存するものであることを保証すること。
• 初期多角形の可視性構造を事前に計算するための事前処理ステップを提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、頂点の挿入および削除によって引き起こされる組合せ的変化を追跡することで、固定された内部点の可視性領域を維持し、必要に応じてのみ更新する。
• 可視性照会のため、アルゴリズムは照会点が現在の多角形内にあるか外にあるかを確認し、動的更新を用いて対応する可視性領域を計算する。
• 照会線分の弱可視性領域の計算には、頂点変更に適応する動的データ構造を用い、出力に依存する時間で可視性を計算する。
• 事前処理では、固定点の可視性領域と初期多角形の弱可視性領域を計算し、その後、段階的に更新する。
• アルゴリズムは単純多角形の幾何的性質を活用し、可視性境界を追跡し、頂点変更に起因する変化を検出するための効率的なデータ構造を用いる。
• 時間計算量は、可視性多角形への組合せ的変化の数に基づいて表され、出力に依存する性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純多角形における頂点の挿入および削除の下で、固定された内部点の可視性領域を効率的に更新する方法は何か？
• RQ2 多角形が頂点の動的変更を受ける状況下で、平面上の任意の点に対する可視性領域照会に必要な最小の計算コストは何か？
• RQ3 頂点の更新の下で、出力に依存する計算量を有するように、多角形内に存在する内部線分の弱可視性領域を動的に計算できるか？
• RQ4 初期多角形における可視性構造の効率的で動的な維持を可能にするための事前処理技術は何か？
• RQ5 動的可視性アルゴリズムは、組合せ的変化にのみ依存することで、どの程度出力に依存する性質を達成できるか？

主な発見

• 動的可視性多角形の維持アルゴリズムは、頂点の挿入または削除に起因する可視性多角形への組合せ的変化の数に比例した時間で更新される。
• 可視性多角形照会アルゴリズムは、ℝ²内に存在する任意の点について、その点が現在の多角形内にあろうが外にあろうが、出力に依存する計算量で正しく可視性多角形を計算する。
• 照会線分の弱可視性多角形の計算についても出力に依存する性質を有し、可視性構造への組合せ的変化の数に依存する。
• すべての動的アルゴリズムは、初期の単純多角形を事前処理して可視性構造を事前に計算する必要があり、その後、頂点操作中に段階的に更新される。
• アルゴリズムは頂点の挿入および削除の両方に対して正しく保たれ、多角形に対する完全な動的動作をサポートする。
• フレームワークにより、各更新後に再計算を実行せずに、効率的な動的可視性構造の計算が可能になる。