[論文レビュー] Shuffles of deformed permutahedra, multiplihedra, constrainahedra, and biassociahedra

Frédéric Chapoton, Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2022

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ひとこと要約

本稿は、グラフィカル・ゾノトープによって定義される一般化された多面体、すなわち変形された置換体（deformed permutahedra）における新しいシャッフル作用を導入し、m-置換体とn-アソシアクシアヘドロンのシャッフルが(m,n)-マルチプリヒェドロンを、2つのアソシアクシアヘドロンのシャッフルが(m,n)-コンストレインアヘドロンを、反アソシアクシアヘドロンとアソシアクシアヘドロンのシャッフルが(m,n)-バイアソシアクシアヘドロンを生成することを示している。主な貢献は、バイアソシアクシアヘドロンの最初の完全な凸多面体実現であり、頂点、面、ミンコフスキー和の明示的記述に加え、装飾付き木を用いたf多項式の生成関数が得られている。

ABSTRACT

We introduce the shuffle of deformed permutahedra (a.k.a. generalized permutahedra), a simple associative operation obtained as the Cartesian product followed by the Minkowski sum with the graphical zonotope of a complete bipartite graph. Besides preserving the class of graphical zonotopes (the shuffle of two graphical zonotopes is the graphical zonotope of the join of the graphs), this operation is particularly relevant when applied to the classical permutahedra and associahedra. First, the shuffle of an $m$-permutahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-multiplihedron, whose face structure is encoded by $m$-painted $n$-trees, generalizing the classical multiplihedron. We show in particular that the graph of the $(m,n)$-multiplihedron is the Hasse diagram of a lattice generalizing the weak order on permutations and the Tamari lattice on binary trees. Second, the shuffle of an $m$-associahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-constrainahedron, whose face structure is encoded by $(m,n)$-cotrees, and reflects collisions of particles constrained on a grid. Third, the shuffle of an $m$-anti-associahedron with an $n$-associahedron gives the $(m,n)$-biassociahedron, whose face structure is encoded by $(m,n)$-bitrees, with relevant connections to bialgebras up to homotopy. We provide explicit vertex, facet, and Minkowski sum descriptions of these polytopes, as well as summation formulas for their $f$-polynomials based on generating functionology of decorated trees.

研究の動機と目的

• 新しいシャッフル作用を用いた変形された置換体上で、マルチプリヒェドロン、コンストレインアヘドロン、バイアソシアクシアヘドロンの統一的な幾何的構成を提供すること。
• 長年の問題である、バイアソシアクシアヘドロンを凸多面体として実現すること、これは従来、位相的セル複体としてのみ知られていた。
• 特にバイアソシアクシアヘドロンに対して、頂点、面、ミンコフスキー和の明示的記述を確立すること。
• 装飾付き木の組合せ論を用いて、f多項式の生成関数を導出し、次元ごとの面の数を数えることを可能にすること。
• シャッフル構成を用いて、古典的なラティス構造（弱順序、タマリラティス）を、高次元多面体的設定へ一般化すること。

提案手法

• シャッフル作用を、直積の後に完全二部グラフのグラフィカル・ゾノトープとのミンコフスキー和を取ることで定義する。
• シャッフルがグラフィカル・ゾノトープのクラスを保存することを証明し、2つのグラフィカル・ゾノトープのシャッフルがそれらの基盤となるグラフの結合のゾノトープに一致することを示す。
• 面の構造を( m,n )-マルチプリヒェドロンに符号化するための塗り分けられた木（m-塗り分けn-木）を用い、その面ラティスが一般化された弱順序と同型であることを示す。
• ( m,n )-コツリーと( m,n )-ビツリーを導入し、それぞれコンストレインアヘドロンとバイアソシアクシアヘドロンの面構造を符号化する。
• 再帰的な木構成と整合性のあるノード分割を用いて、頂点および面の明示的記述を構成する。
• カタラン関数とシュレーディンガー関数への代入を用いてf多項式の生成関数を導出し、退化ケースを除外するための減算項を加える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (m,n)-マルチプリヒェドロンは、置換の弱順序と二分木のタマリラティスの両方を一般化する面ラティスを持つ凸多面体として実現可能か？
• RQ2 (m,n)-コンストレインアヘドロンの組合せ的構造は何か？また、これは格子上の粒子衝突をどのようにモデル化するか？
• RQ3 (m,n)-バイアソシアクシアヘドロンはどのように凸多面体として実現可能か？また、ホモトピー的双代数との関係において、その面ラティス構造はどのようなものか？
• RQ4 これらの新しい多面体の頂点、面、ミンコフスキー和の明示的記述は何か？
• RQ5 これらの多面体のf多項式の生成関数は何か？また、それらは装飾付き木とどのように関係するか？

主な発見

• (m,n)-マルチプリヒェドロンは、m-置換体とn-アソシアクシアヘドロンのシャッフルにより凸多面体として実現され、その面ラティスは弱順序とタマリラティスを一般化するラティスと同型である。
• (m,n)-コンストレインアヘドロンは2つのアソシアクシアヘドロンのシャッフルとして生じ、(m×n)-グリッドにおける最大の長方形括弧構造を符号化し、その面構造は( m,n )-コツリーによって支配される。
• (m,n)-バイアソシアクシアヘドロンは、バイアソシアクシアヘドロンの最初の完全な凸多面体実現であり、頂点は二分( m,n )-ビツリーに対応し、面はシュレーディンガー木とコロナ（corollas）によって記述される。
• (m,n)-バイアソシアクシアヘドロンの頂点数は、カタラン生成関数C(x)と修正されたC*(x)関数の反復合成を含む生成関数で与えられる。
• (m,n)-バイアソシアクシアヘドロンの面の数は、(2m−1)(2n−1) + (m+1 choose 2) + (n+1 choose 2) −1 であり、異なる木の型からの寄与を反映している。
• (3,3)-バイアソシアクシアヘドロンのfベクトルは f(Bias(3,3)) = (1, 606, 1549, 1382, 497, 60, 1) であり、(3,3)-コンストレインアヘドロンのfベクトル (1, 606, 1550, 1384, 498, 60, 1) とわずかに異なる。