[論文レビュー] Similarity problems and length

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|May 8, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿はC*-代数におけるカジソンの類似問題と関連する微分作用素問題を調査し、それらがホモモーフィズムおよび表現の完全有界性と同値であることを確立する。主な貢献は、部分代数による生成に基づいて定義されるC*-代数の長さが、その代数が類似性性質を満たすための必要十分条件であることを示し、作用素空間理論と行列ノルムを用いて明示的な境界を導出することにある。

ABSTRACT

This is a survey of the author's recent results on the Kadison and Halmos similarity problems and the closely connected notion of ``length'' of an operator algebra.

研究の動機と目的

• 作用素代数における完全有界性の概念と関連付けることで、カジソンの類似問題を解決すること。
• C*-代数における類似問題と微分作用素問題の同値性を確立すること。
• 部分代数による生成の仕方を測る指標としての『長さ』を定義し、その分析を行うこと。
• 行列ノルムおよび作用素空間技法を用いて、長さに対する定量的境界を提示すること。
• 代数 $ A_3 = \bigoplus_{n \to \infty} M_n $ の長さが2を超えることを示し、予想された境界に反する。

提案手法

• 完全有界（c.b.）写像およびそのノルム $ \|u\|_{cb} $ を用いて、*-ホモモーフィズムへの類似性を特徴付ける。
• ハーグループの定理を適用：ホモモーフィズムが*-ホモモーフィズムに類似するための必要十分条件は、それが完全有界であることであり、$ \|u\|_{cb} = \inf \|\xi\| \|\xi^{-1}\| $ で与えられる。
• ポールセンの一般化を非自己随伴作用素代数に適用し、$ \|u\|_{cb} < \infty $ であることと、$ u $ が完全収縮的ホモモーフィズムに類似していることが同値であることを示す。
• 単位的作用素代数 $ A $ の長さ $ \ell(A) $ を、$ A $ の単位球が部分代数の有界集合 $ C $ の $ d $ 重積の閉凸包に含まれる最小の $ d $ として定義する。
• 特に $ (\alpha,\beta) = (1,2), (2,1) $ の場合の $ w_{\alpha\beta} $ を分析し、$ \|v\|_{[2]} \leq 2 + 2\sqrt{m} $ を得る。
• 長さが $ \ell(A_3) \leq 2 $ であると仮定し、$ C(m,3) \leq K(2 + \sqrt{m}) $ の境界を用いて矛盾を導出し、$ d=3 $ の場合に補題11に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数から $ B(H) $ への有界な単位的ホモモーフィズムは、すべて*-ホモモーフィズムに類似するか？
• RQ2 $ \pi $-微分作用素が有界であるならば、それは内因的である、すなわち $ \delta(a) = \pi(a)T - T\pi(a) $ の形に書けるか？
• RQ3 C*-代数の長さとその類似性性質との間の正確な関係は何か？
• RQ4 代数 $ A_3 = \bigoplus_{n \geq 1} M_n $ の長さは2で上から抑えられるか？
• RQ5 行列ノルムおよび作用素空間技法は、部分代数によって生成される作用素代数の長さをどのように制約するか？

主な発見

• C*-代数 $ A $ における類似問題は、微分作用素問題と同値であり、両者ともホモモーフィズムおよび微分作用素の完全有界性と同値である。
• 任意の単位的作用素代数 $ A $ に対して、ホモモーフィズム $ u: A \to B(H) $ が完全収縮的ホモモーフィズムに類似しているための必要十分条件は $ \|u\|_{cb} < \infty $ であり、$ \|\xi\| \|\xi^{-1}\| $ の下限がcbノルムを達成する。
• 代数 $ A_3 = \bigoplus_{n \geq 1} M_n $ の長さ $ \ell(A_3) $ は2より大きい。これは $ \|v\|_{[2]} \leq 2 + 2\sqrt{m} $ の境界と、$ d=3 $ の場合に補題11に反する事実を用いた背理法によって示された。
• もし $ \ell(A) \leq d $ ならば、任意の単位的ホモモーフィズム $ u $ に対して $ \|u\| \leq dK \max\{\|u|_{B_1}\|, \|u|_{B_2}\|\}^d $ が成り立ち、ノルムに対する多項式的境界を確立する。
• $ A $ を単位的作用素代数とするとき、$ \mathcal{K}(A) $ の長さは $ \ell(\mathcal{K}(A)) \leq 2\ell(A) + 1 $ を満たし、逆に $ \ell(\mathcal{K}(A)) \leq m $ ならば $ \ell(A) \leq \lfloor (m+1)/2 \rfloor $ が成り立つ。
• $ A = C_1 \otimes_{\max} C_2 $ に対して、$ A_1 = C_1 \otimes 1 $、$ A_2 = 1 \otimes C_2 $ とおくと、$ A $ の長さは $ \mathcal{K}(A) $ が $ \mathcal{K}(A_1) $ と $ \mathcal{K}(A_2) $ によって生成されることと関係し、行列ノルム解析を用いて明示的な境界が導出された。