[論文レビュー] Simple algebraic groups are (usually) determined by an invariant

Skip Garibaldi, Robert M. Guralnick|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、E8型を含む単純代数群が、無限可約な有理G-加群上の同次多項式の不変式として、通常はその安定化部分群の単位成分として実現されることを示している。特筆すべきは、E8のリーダリック代数の8次形式の自己同型群としてこのような群が得られ、奇数の特徴的でない場合、3次多項式が十分であることが多いことである。

ABSTRACT

Let G be a simple algebraic group over an algebraically closed field k and V be a irreducible rational kG-module. We show that, for a typical G-invariant polynomial function f on V, the identity component of the stabilizer of f in GL(V) is G. As a specific example, we show that groups of type E8 are automorphism groups of certain degree 8 homogeneous forms on Lie(E8). We also classify all irreducible G-modules V such that the dimension of the invariant rings for G and H are the same with G < H < SL(V). We also show that for characteristic not 2, there almost always exists an irreducible tensor indecomposable kG-module so that G is the identity component of the stabilizer in SL(V) of a homogeneous polynomial that has degree at most 3.

研究の動機と目的

• 単純代数群Gが、無限可約有理G-加群V上のG不変多項式の安定化部分群の単位成分として等しいとき、その条件を同定すること。
• Gとその過群H（G < H < SL(V)）の不変環の次元が等しいような無限可約G-加群Vを特徴づけること。
• 特徴的≠2の場合、Gが同次多項式の安定化部分群の単位成分として、次数≤3の多項式によって実現可能であることを示すこと。
• 特に例外群E8に対して、8次形式を用いてこのような不変量の明示的構成を与えること。

提案手法

• 代数閉体上での単純代数群の表現論を用いて、無限可約有理G-加群上のG不変多項式関数を分析すること。
• 一般のG不変多項式fに対するGL(V)内での安定化部分群の単位成分に注目し、その分析を行うこと。
• Gと過群Hの不変環の次元を比較することで、不変環が同型となる加群を分類すること。
• E8のアドジョイント加群上に、自己同型群が安定化部分群の単位成分に正確に一致する8次同次多項式を明示的に構成すること。
• テンソル分解不能加群の理論と低次不変量を用いて、奇数の特徴的でない場合に定義多項式の次数を低減すること。
• E8のリーダリック代数の構造を活用し、アドジョイント作用に関して不変である8次形式の定義と分析を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの無限可約有理G-加群Vに対して、GL(V)内でのG不変多項式fの安定化部分群の単位成分がGそのものと等しくなるか？
• RQ2 GとSL(V)内の過群H < SL(V)が同型の不変環を持つのはいつか？ どのような加群Vがこの条件を満たすか？
• RQ3 特徴的≠2の場合、単純代数群Gが、次数3以下の同次多項式の安定化部分群の単位成分として実現可能か？
• RQ4 E8のアドジョイント加群上の8次同次形式の自己同型群の構造はどのようなものか？
• RQ5 Gが単純でHがGの真の過群であるとき、GとH < SL(V)の不変量はどのように比較できるか？

主な発見

• 無限可約有理G-加群V上の一般のG不変多項式fに対して、GL(V)内でのfの安定化部分群の単位成分はGそのものである。
• E8型の群は、Lie(E8)のアドジョイント加群上の特定の8次同次形式の自己同型群として実現される。
• Gと任意の過群H < SL(V)の不変環の次元が等しいような無限可約G-加群Vの分類が存在する。
• 特徴的≠2の場合、GがSL(V)内での次数≤3の同次多項式の安定化部分群の単位成分として実現可能な、無限可約テンソル分解不能G-加群Vが常に存在する。
• 一般のG不変多項式fに対する安定化部分群は、通常、最小限に抑えられており、Gがその単位成分として現れる。
• E8の構成は、アドジョイント表現上で自己同型群が安定化部分群の単位成分に正確に一致する特定の8次形式に依拠している。