[論文レビュー] Simple and Robust Boolean Operations for Triangulated Surfaces

Gang Mei, John C. Tipper|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Advanced Numerical Analysis TechniquesEngineering参考文献 25被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、オクトリーベースの空間分割を用いて交差する三角形ペアを効率的に同定し、その後に並列計算により交線を算出することで、閉曲面および開曲面のブール演算に対して単純かつ頑健な手法を提示する。この手法は座標の再計算を一切行わず、トポロジー上の更新のみで閉じた交線ループや部分表面を形成する。これにより、従来の内部/外部点テストに代わる、トポロジー駆動型分類技術を用いることで、正確かつ効率的な和集合、積集合、差集合の演算が可能になる。

ABSTRACT

Boolean operations of geometric models is an essential issue in computational geometry. In this paper, we develop a simple and robust approach to perform Boolean operations on closed and open triangulated surfaces. Our method mainly has two stages: (1) We firstly find out candidate intersected-triangles pairs based on Octree and then compute the inter-section lines for all pairs of triangles with parallel algorithm; (2) We form closed or open intersection-loops, sub-surfaces and sub-blocks quite robustly only according to the cleared and updated topology of meshes while without coordinate computations for geometric enti-ties. A novel technique instead of inside/outside classification is also proposed to distinguish the resulting union, subtraction and intersection. Several examples have been given to illus-trate the effectiveness of our approach.

研究の動機と目的

• 多様体の三角形メッシュである開または閉曲面に対して、単純かつ頑健なブール演算アルゴリズムの開発。
• オクトリーによる空間分割を用いて、潜在的に交差する三角形ペアを効率的に同定することで、計算コストの低減。
• 座標に基づく内部/外部分類に依存しないように、和集合、積集合、差集合の結果を区別するトポロジー駆動型手法を導入することで、その依存を排除。
• 正確な算術や体積表現を必要とせずに、複雑な表面交差を扱う際の頑健性と効率性を確保。

提案手法

• 交差する可能性のある三角形ペアの探索を高速化するため、オクトリー・データ構造を採用し、ペアワイズ交差テストの数を削減。
• オクトリーで同定された候補ペアのすべてに対して、並列アルゴリズムを用いて交線を計算。
• トポロジカルな接続性と頂点共有のパターンに基づき、交線ループを「開放的」「硬い閉じた」「ソフトな閉じた」に分類。
• 閉じた交線ループを初期の進行フロントとして扱い、幾何的座標の再計算を一切行わず、トポロジー上のメッシュ更新のみで部分表面を拡張。
• 部分表面と元の入力ブロック間のトポロジカル関係に基づき、部分ブロック（和集合、積集合、差集合）を構成。
• 更新された頂点の最小・最大座標を比較することで、従来のボリューム内点分類を避けて、結果の種別を明確化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形メッシュに対するブール演算を、座標に基づく内部/外部分類に依存せずに、効率的かつ頑健に実行するにはどうすればよいか？
• RQ2 ブール演算におけるペアワイズ三角形交差テストの数を最も効果的に削減できる空間データ構造は何か？
• RQ3 交線ループはどのようにトポロジカルに分類され、頑健に部分表面や部分ブロックを形成するために利用できるか？
• RQ4 幾何的座標の再計算を一切行わず、トポロジー上のメッシュ更新のみで、和集合、積集合、差集合用の部分ブロックを構成・識別することは可能か？

主な発見

• 本手法は、開対開、開対閉、閉対閉の三角形メッシュに対して、一貫したトポロジカルな頑健性を維持してブール演算を実行できた。
• 交線ループが「開放的」「硬い閉じた」「ソフトな閉じた」として正しく分類され、信頼性の高い部分表面の形成が可能になった。
• 和集合、積集合、差集合の部分ブロックは、トポロジー情報と頂点座標の範囲のみを用いて構成・識別され、複雑なボリューム内点テストを回避した。
• オクトリーと並列処理の活用により、高コストな三角形同士の交差計算の回数が顕著に削減された。
• 幾何的座標ではなく、クリアされ更新されたメッシュのトポロジーに依存することで、複雑な交差後でも多様体トポロジーが維持された。