[論文レビュー] Simple D-module components of local cohomology modules

Claudia Polini, Robin Hartshorne|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異点のない射影的多様体 $V \subset \mathbb{P}^n_k$ の codimension $r$ であるとき、局所コホモロジー $H^r_I(A)$ の単純 D-加群成分を特徴づけ、臨界コホモロジー加群が $V$ の錐上に台を持つ唯一の単純部分 D-加群を持ち、商が $m$ 個の $E$ の直和に同型であることを示している。ここで $m = b_d - b_{d-2}$ は、代数的 de Rham コホモロジーにおける $V$ のベッチ数によって定まる。主な結果として、 genus $g$ の特異点のない曲線に対して、$H^{n-1}_I(A)$ が単純であることと $g = 0$ であることは同値であり、de Rham コホモロジーと D-加群理論を用いて Raicu の結果を代数的に再現している。

ABSTRACT

For a projective variety V in P^n over a field of characteristic zero, with homogeneous ideal I in A = k[x0,x1,...,xn], we consider the local cohomology modules H^i_I(A). These have a structure of holonomic D-module over A, and we investigate their filtration by simple D-modules. In case V is nonsingular, we can describe completely these simple components in terms of the Betti numbers of V.

研究の動機と目的

• 射影的多様体 $V \subset \mathbb{P}^n_k$ の局所コホモロジー加群 $H^i_I(A)$ の単純 D-加群成分の構造を特定すること。
• $H^r_I(A)$ の D-加群の合成因子を、$V$ の代数的 de Rham ベッチ数に関連付けること。
• 解析的 D-加群や Riemann-Hilbert 対応に依存せずに、$H^r_I(A)$ の D-加群構造を特徴づける、代数的かつ特徴値 0 の証明を提供すること。
• 正則 D-加群の上での上位 de Rham コホモロジーの次元と、その商に現れる $E$ のコピー数との間に双対性を確立すること。

提案手法

• 正則 D-加群の $H^j_{\text{DR}}(H^r_I(A))$ を計算するために代数的 de Rham コホモロジーを用いる。
• de Rham ホモロジーの強力な切除定理を応用し、局所コホモロジーと $V$ のグローバルコホモロジーを関連付ける。
• 正則 D-加群 $M$ の商に現れる $E$ の最大コピー数と $\dim H^n_{\text{DR}}(M)$ の関係を示す技術的結果を用いる。
• Bernstein-Sato 理論と最小拡大の理論を用いて、$V$ の錐上に台を持つ単純 D-加群を構成する。
• $A \to \hat{A}$ の完成写像を用い、$H^r_I(A)$ とその完成 $\hat{M}$ を関連付け、de Rham コホモロジーを保存する。
• 解析的手法を避けるが、Riemann-Hilbert 対応の精神を踏襲した証明を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点のない射影的多様体 $V \subset \mathbb{P}^n_k$ の codimension $r$ に対して、$H^r_I(A)$ の単純 D-加群成分は何か？
• RQ2 代数的 de Rham コホモロジーにおける $V$ のベッチ数は、$H^r_I(A)$ の D-加群としての構造をどのように決定するか？
• RQ3 $H^r_I(A)$ の最大の単純部分 D-加群による商に現れる $E$ のコピー数を代数的に計算可能か？
• RQ4 Veronese 埋め込みに対して $H^r_I(A)$ の単純性に関する Raicu の結果を、表現論を除く代数的 D-加群理論のみで再現可能か？

主な発見

• 次元 $d$ で codimension $r$ の特異点のない射影的多様体 $V \subset \mathbb{P}^n_k$ に対して、局所コホモロジー加群 $H^r_I(A)$ は、$V$ の錐上に台を持つ唯一の単純部分 D-加群を持ち、商が $E^{b_d - b_{d-2}}$ に同型である。ここで $b_i = \dim H^i_{\text{DR}}(V)$ である。
• genus $g$ の特異点のない曲線 $C$ に対して、$H^{n-1}_I(A)$ は単純部分 D-加群を持ち、商が $E^{2g}$ であるため、$H^{n-1}_I(A)$ が単純であることと $g = 0$ であることは同値である。
• この結果により、$\mathbb{P}^d$ を $\mathbb{P}^n$ に $d$-重埋め込みする場合の $H^r_I(A)$ の単純性に関する Raicu の定理が、表現論とは異なる代数的手段によって再現される。
• 正則 D-加群 $M$ の上位 de Rham コホモロジー $H^n_{\text{DR}}(M)$ の次元は、$M$ の商として現れる $E$ の最大コピー数に等しい。
• 強力な切除により、$H^r_I(A)$ の de Rham コホモロジーは $V$ のものと同型であり、これにより $V$ のベッチ数が D-加群構造を制御する。
• 特異的多様体に対しては、$H^r_I(A)$ の D-加群構造は滑らか部分多様体によるストラティフィケーションを反映すると予想され、特異的ストラトムからの寄与と、最終的な商 $E^{\dim H^d_{\text{DR}}(Y)}$ が現れる。