[論文レビュー] Jet bundles on projective space II

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、代数群論、一般化されたヴェルマ加群、最高重みベクトルの annihilator 理想を用いて、グラスマンニアン上のジャンルバンドルの正規フィルトレーションを研究する。プロジェクト型空間上のジャンルバンドルの構造を P-加群として既知の結果を回復し、グラスマンニアン上でのその分解型および一次ジャンルバンドル構造に対して明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

Let G=SL(E) be the special linear algebraic group on E where E is a finite dimensional vector space over a field K of characteristic zero. In this paper we study the canonical filtration of the dual G-module of global sections of a G-linearized invertible sheaf L on the grassmannian G/P where P in G is the parabolic subgroup stabilizing a subspace W in E. We classify the canonical filtration as P-module and as a consequence we recover known formulas on the P-module structure of the jet bundle J(L) on projective space. We study the incidence complex for the invertible sheaf O(d) on the projective line and prove it gives a resolution of the incidence scheme I(O(d)) of O(d). The aim of this study is to apply it to the study of resolutions of ideal sheaves of discriminants of invertible sheaves on grassmannians and flag varieties. We also give an elementary proof of the Cauchy formula. Hence the paper introduce the canonical filtration of an arbitrary irreducible SL(E)-module and initiates a study of the canonical filtration as P-module where P in SL(E) is a parabolic subgroup.

研究の動機と目的

• グラスマンニアン $X = \mathbb{G}(m,m+n)$ 上での一次ジャンルバンドル $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ の $P$-加群構造を分類すること。
• 正規フィルトレーションを用いて、抽象的な局所自由層としてのプロジェクト型空間上でのジャンルバンドルの分解型に関する既知の公式を回復すること。
• 射影直線上の $\mathcal{O}(d)$ のインシデント複体を研究し、それがインシデントスキーム $I^l(\mathcal{O}(d))$ の理想層を分解することを証明すること。
• ラインバンドル $\mathcal{O}(d)$ のグラスマンニアン上での正規フィルトレーション $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ を $P$-加群として一般に研究を開始すること。
• 結果を、プロジェクト型空間およびグラスマンニアン上での線形系の判別式のサイジィジ関係に応用すること。

提案手法

• 代数群論、層論および一般化されたヴェルマ加群の技術を用いて、$X = \mathbb{G}(m,m+n)$ における $\mathrm{SL}(V)$-加群 $\mathrm{H}^0(X,\mathcal{O}_X(d))^*$ の正規フィルトレーション $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ を分析する。
• 既存の $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ に関する結果を応用し、ジャンルバンドルのファイバー $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))(x)^*$ の $P$-加群構造を分類する。
• $X = \mathbb{P}^n$ の場合に成り立つ同型 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d \cong L^{d-l} \otimes \mathrm{Sym}^l(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}_L \otimes L)$ を用いて、既知の分解型公式を回復する。
• インシデント複体 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y$ を構成し、それが $I^l(\mathcal{O}(d))$ の理想層の局所自由分解であることを証明する。
• コーシー複体およびジャンルバンドルの性質を用いて、インシデント複体の分解性質を確立する。
• カウチの公式を適用し、$\mathrm{SL}(V)$-加群の自己同型を研究することで、$\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 内の最高重みベクトルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアン $X = \mathbb{G}(m,m+n)$ 上での一次ジャンルバンドル $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ の $P$-加群構造は何か？
• RQ2 一般化されたヴェルマ加群および annihilator 理想を用いて、$\mathrm{SL}(V)$-加群 $\mathrm{H}^0(X,\mathcal{O}_X(d))^*$ の正規フィルトレーション $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ はどのように分類できるか？
• RQ3 抽象的な局所自由層としてのプロジェクト型空間 $\mathbb{P}^n$ 上でのジャンルバンドル $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))$ の分解型は何か？
• RQ4 インシデント複体 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y$ は、インシデントスキーム $I^l(\mathcal{O}(d))$ の理想層の分解であるか？
• RQ5 $\mathrm{SL}(m) \times \mathrm{SL}(n)$-加群としての $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 内の最高重みベクトルをどのように明示的に構成できるか？

主な発見

• すべての $d \geq 1$ に対して、$X = \mathbb{G}(m,m+n)$ 上での一次ジャンルバンドル $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ の $P$-加群構造が完全に分類された。
• $X = \mathbb{P}^n$ の場合に、$P$-加群としての同型 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d \cong L^{d-l} \otimes \mathrm{Sym}^l(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}_L \otimes L)$ が成り立ち、ジャンルバンドルのファイバー構造が回復された。
• 正規フィルトレーションのアプローチにより、$\mathbb{P}^n$ 上でのジャンルバンドル $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))$ の分解型が既知の公式として回復された。
• インシデント複体 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y$ が、$I^l(\mathcal{O}(d))$ の理想層の局所自由分解であることが証明された。
• $\mathrm{SL}(m) \times \mathrm{SL}(n)$-加群 $\mathrm{Sym}^i(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ の最高重みベクトルとしての $i$-番目の行列式 $|x_i| \in \mathrm{Sym}^i(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ が、特性 $\lambda(g) = \frac{b_1 \cdots b_i}{a_{m-i+1} \cdots a_m}$ を持つ最高重みベクトルであることが示された。
• [2] の結果とカウチの公式を用いて、$\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 内のすべての最高重みベクトルが $x_0^{d_0} x_1^{d_1} \cdots x_i^{d_i}$ の形で表され、$\sum i d_i = k$ を満たすことが示された。