[論文レビュー] Simple derivation of the special theory of relativity without the speed of light axiom

Ondřej Čertı́k|ArXiv.org|Oct 17, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、光の速度が一定であるという仮定を事前的に仮定せず、等方性、一様性、相対性原理の原則のみを用いて、特殊相対性理論の単純できめ細やかな導出を提示する。変換行列の代数的取り扱いを通じてローレンツ変換と時空間隔の不変性を導出し、万有の速度限界 $ c $ がこれらの対称性の結果として自然に生じることを示す。光の速度は実験的に $ c $ を特定するために用いられる。

ABSTRACT

We show a very simple yet rigorous derivation of the invariance of the space-time interval (and hence the whole special relativity) just from the isotropy, homogeneity and a principle of relativity, without the need of the speed of light axiom. This article is intended as a textbook explanation of the special relativity.

研究の動機と目的

• 光の速度の公理を仮定せず、特殊相対性理論を明確で初等的な方法で導出すること。
• ローレンツ変換および時空間隔の不変性が、等方性、一様性、相対性原理のみから導かれるということを示すこと。
• ガリレオ変換またはローレンツ変換の2つの可能な変換群が、4次元時空において一意に導かれる、簡潔で代数的な導出を提供すること。
• 万有の速度限界 $ c $ の存在が、物理的仮定ではなく、相対性と対称性の数学的結果であるということを明確にすること。

提案手法

• 慣性系 $ S $ と $ S' $ 間の線形変換を、相対速度 $ v $ のみに依存する行列 $ A(v) $ で表し、$ A(0) = \mathds{1} $ とする。
• 物理的制約を課す：$ t=0 $ で原点が一致し、軸が平行であり、$ y $-$ z $ 平面での等方性を満たす。
• 相対性原理を用いて、速度合成のための $ A(u)A(v) = A(w) $ を導出し、行列要素の関数方程式を導く。
• 横方向平面での回転対称性を適用して行列構造を制約し、非対角要素を消去し、$ y $-$ z $ 部分空間での回転対称性を特定する。
• 得られた関数方程式を解いて $ A_v = \frac{1}{\sqrt{1 - K v^2}} $ を得る。ここで $ K $ は万有定数である。
• 実験的に $ c $ が光の速度として特定されることにより $ K = \frac{1}{c^2} $ を特定するが、$ c $ が対称性から自発的に生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ変換は、光の速度が一定であるという仮定を公理として用いずに導出可能か？
• RQ2 相対性原理を越えて、ローレンツ変換を一意に導くために必要な最小限の物理的原理は何か？
• RQ3 万有の速度限界 $ c $ は、時空の対称性からどのように生じるのか？実験的測定とはどのように異なるのか？
• RQ4 なぜ等方性、一様性、相対性原理の下で、ガリレオ変換とローレンツ変換の2つだけが可能なのか？
• RQ5 時空間隔の不変性は、対称性原理のみから代数的に導出可能か？

主な発見

• 本稿は、光の速度の公理を仮定せず、等方性、一様性、相対性原理のみを用いてローレンツ変換を導出する。
• これらの原理と整合する変換群として、ガリレオ変換とローレンツ変換の2つが唯一存在し、粒子の速度が有界である場合にローレンツ変換が現れる。
• 変換 $ A_v = \frac{1}{\sqrt{1 - K v^2}} $ の万有定数 $ K $ は $ K = \frac{1}{c^2} $ に特定され、$ c $ は実験的に光の速度として特定される。
• 導出された変換の結果、時空間隔 $ \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 $ の不変性が証明される。
• 導出により、ローレンツ変換が任意の仮定なしに、対称性原理によって一意に決定されることを示した。
• 本稿は、光の速度が果たす役割が、万有定数 $ c $ を特定するためのものであり、変換自体を導出するためのものではないことを確認した。