[論文レビュー] Simple reduced $L^p$ operator crossed products with unique trace

Sanaz Pooya, Shirin Hejazian|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ p \in (1,\infty) $ に対して、$ G $ が可算なパワー群であり、$ A $ が単位元をもつ $ G $-単純な $ L^p $ 演算子代数であり、作用 $ \alpha $ が等長的かつ非退化的なとき、$ L^p $ 演算子交叉積 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ が単純であり、正規化されたトレースを一意に持つことを確立する。この結果は、$ L^p $ と $ L^q $ 空間の双対性および条件付き期待値を用いて、パワーの $ C^* $-代数の単純性とトレースの一意性を $ L^p $ 框組みに拡張するものである。

ABSTRACT

In this article we study simplicity and traces of reduced $L^p$ operator crossed products $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$. Given $p \in (1, \infty)$, let $G$ be a Powers group, and let $α\colon G o Aut(A)$ be an isometric action of $G$ on a unital $L^p$ operator algebra $A$ such that $A$ is $G$-simple. We prove that the reduced $L^p$ operator crossed product of $A$ by $G$, $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$, is simple. Moreover, we show that traces on $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$ are in correspondence with $G$-invariant traces on A. Our results generalize the results obtained by de la Harpe for reduced $C^*$crossed products in 1985. By letting $G$ be a countable nonabelian free group as a special case, we recover an analogue of a result of Powers from 1975. For the case $p = 1$, it turns out that (reduced) $L^p$ operator group algebras are not simple.

研究の動機と目的

• $ p \in (1,\infty) $ に対して、デュラールとスカンダリスの $ C^* $-代数の交叉積に関する結果を $ L^p $ 演算子代数の枠組みに一般化すること。
• $ G $-単純性、$ A $ の単位元性、および等長的 $ G $-作用の下で、縮小 $ L^p $ 演算子交叉積 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ の単純性を確立すること。
• 標準的条件付き期待値 $ E $ を通じて、$ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上のトレースを $ A $ 上の $ G $-不変トレースの引き戻しとして特徴づけること。
• 可算なパワー群の縮小 $ L^p $ 群代数 $ F^p_{\mathrm{r}}(G) $ が単純であり、正規化されたトレースを一意に持つことを示すこと。
• $ p = 1 $ の場合に結果が成り立たないことを示し、フレームワークにおいて $ p > 1 $ の必要性を強調すること。

提案手法

• 共役指数 $ p, q \in (1,\infty) $ に対する $ L^p $ と $ L^q $ 空間の双対性を用いて、$ L^p $-空間に直交射影が存在しないという欠陥を補う。
• 標準的条件付き期待値 $ E: F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) \to A $ の適用。これは、要素を交叉積における $ e $-成分に写像する。
• $ G $-単純性とcompactly な台を持つ関数の稠密性を用いて、任意の非ゼロイデアル $ I $ に対して $ E(a) = 1_A $ を満たす $ a \in I $ の構成。
• 平均的エルゴディック定理に類似した議論：共役 $ u_{h_j} a u_{h_j}^{-1} $ を平均化して恒等元に近似し、イデアル内での可逆性を示す。
• $ A $ 上の $ G $-不変トレースが $ \sigma \mapsto \sigma \circ E $ を通じて $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上のトレースを誘導することを活用し、共役によるトレース不変性を用いて逆を証明する。
• 条件付き期待値を用いて、交叉積上のトレースと基底代数 $ A $ 上のトレースを関連づけ、自然な双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p \in (1,\infty) $ に対して、縮小 $ L^p $ 演算子交叉積 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ がどのような条件下で単純になるか。
• RQ2 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上のトレースは、$ A $ 上の $ G $-不変トレースとどのように関係するか。
• RQ3 $ A $ が一意な正規化されたトレースを持つ場合、$ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上の正規化されたトレースの一意性は成り立つか。
• RQ4 なぜ $ p = 1 $ の場合に単純性の結果が成り立たないのか。可算なパワー群に対しても同様か。
• RQ5 パワーの $ C^* $-代数における単純性とトレースの一意性に関する結果を、どの程度まで $ L^p $ 演算子代数フレームワークに一般化できるか。

主な発見

• $ p \in (1,\infty) $ に対して、$ G $ が可算なパワー群であり、$ A $ が単位元をもち $ G $-単純であり、$ (G,A,\alpha) $ が分離可能かつ非退化的に表現可能な等長的 $ G $-$ L^p $ 演算子代数であるとき、縮小 $ L^p $ 演算子交叉積 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ は単純である。
• $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上のトレースは、$ A $ 上の $ G $-不変トレースと自然な双対性がある。具体的には、$ \tau = \sigma \circ E $ で与えられる。ここで $ E $ は標準的条件付き期待値である。
• $ A $ が一意な正規化されたトレースを持つならば、$ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ も一意な正規化されたトレースを持つ。
• 可算なパワー群 $ G $ の縮小 $ L^p $ 群代数 $ F^p_{\mathrm{r}}(G) $ は $ p \in (1,\infty) $ に対して単純であり、一意な正規化されたトレースを持つ。
• $ p = 1 $ の場合、結果は成り立たない。$ F^1_{\mathrm{r}}(G) $ および $ F^1(G) $ は、任意の可算離散群 $ G $ に対して単純ではない。これは、$ \mathbb{C} $ への自明な準同型が非自明なイデアルの存在を示唆する。
• $ A $ の単位元性は本質的である。非単位元の $ L^p $ 演算子代数に対しても、$ p=2 $ の場合でさえ結果は成り立たない。