[論文レビュー] Simplifying indefinite fibrations on 4-manifolds

R. İnanç Baykur, Osamu Saeki|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、4次元多様体上の不確定なファイブレーションを単純化する明示的かつ構成的なアルゴリズムを、滑らかな1パrameterホモトピー移動を用いて提示する。これには、破れたLefschetzファイブレーションやモース2関数が含まれる。本稿は、ファイバー接続、方向付き、埋め込み的ラウンド像、連結なラウンド軌道構造を実現し、存在定理の純粋位相的証明を可能にするとともに、Gay–Kirbyの三つ編みと対応関係を確立し、すべての4次元多様体上で異種の三つ編みや単純化された三つ編みの新規構成を可能にする。

ABSTRACT

We present explicit algorithms for simplifying the topology of indefinite fibrations on 4-manifolds, which include broken Lefschetz fibrations and indefinite Morse 2-functions. The algorithms consist of sequences of moves, which modify indefinite fibrations in smooth 1-parameter families. In particular, given an arbitrary broken Lefschetz fibration, we show how to turn it to one with directed and embedded round (indefinite fold) image, and to one with all the fibers and the round locus connected. We also show how to realize any given null-homologous 1-dimensional submanifold with prescribed local models for its components as the round locus of such a broken Lefschetz fibration. These algorithms allow us to give purely topological and constructive proofs of the existence of simplified broken Lefschetz fibrations and Morse 2-functions on general 4-manifolds, and a theorem of Auroux-Donaldson-Katzarkov on the existence of broken Lefschetz pencils with directed embedded round image on near-symplectic 4-manifolds. We moreover establish a correspondence between broken Lefschetz fibrations and Gay-Kirby trisections of 4-manifolds, and show the existence of simplified trisections on all 4-manifolds. Building on this correspondence, we provide several new constructions of trisections, including infinite families of genus-3 trisections with homotopy inequivalent total spaces, and exotic same genera trisections of 4-manifolds in the homeomorphism classes of complex rational surfaces.

研究の動機と目的

• 4次元多様体上の不確定ファイブレーションの位相を単純化する明示的かつ位相的なアルゴリズムの開発。
• 一般の4次元多様体上での単純化された破れたLefschetzファイブレーションおよびモース2関数の存在の、構成的でホモトピーに基づく証明の提供。
• 破れたLefschetzファイブレーションとGay–Kirbyの三つ編みとの間の対応関係の確立により、三つ編みの新規構成を可能にする。
• 任意の所定のゼロホモロジーオブジェクト1次元部分多様体を、局所モデルが制御された破れたLefschetzファイブレーションのラウンド軌道として実現する。
• 複素射影平面の和集合の同相型に属する4次元多様体上で、無限個の異種三つ編みおよび単純化された三つ編みの族を構成する。

提案手法

• 本手法は、常に実現可能なモノ・ジェルムおよびマルチ・ジェルムの移動（例えば、フラップ、アンサージョン、サルク合体、プッシュ、クロス・クロス・ブレイディング、およびR2⁰およびR2¹型のリーディマイスター移動）を、滑らかな1パrameter族における不確定ファイブレーションに作用させる。
• これらの移動は、ファイバー構造を保ちつつ、ベース図とファイバー位相を変更し、特異像とファイバー接続性の系統的単純化を可能にする。
• アルゴリズムは、2次元球面への写像に適用され、方向付き、埋め込み的ラウンド像、連結なファイバーおよびラウンド軌道を達成する。
• 重要な技術として、1パラメータ族における分岐に対応するベース図の移動が用いられ、ファイブレーションのグローバル位相的構造を制御可能にする。
• 破れたLefschェッツファイブレーションと三つ編みとの対応関係は、明示的構成により確立され、単純化されたファイブレーションから三つ編みを導出可能であり、逆も同様である。
• ハンドル体記述と安定化操作を活用することで、既知のシンプレクティック4次元多様体から、異なる不変量を持つものから、無限個の異種三つ編みの族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元多様体上の不確定ファイブレーションは、明示的かつ位相的なホモトピー移動を用いて体系的に単純化可能か？
• RQ2 このような移動を用いて、単純化された破れたLefschetzファイブレーションおよびモース2関数の存在は、構成的に証明可能か？
• RQ3 任意の所定の1次元部分多様体は、指定された局所モデルを持つ破れたLefschetzファイブレーションのラウンド軌道として実現可能か？
• RQ4 破れたLefschetzファイブレーションとGay–Kirbyの三つ編みとの間の正確な対応関係は何か？そして、それを用いて新規の三つ編みを構成できるか？
• RQ5 これらの手法を用いて、固定された同相型の4次元多様体上で、無限個の異種三つ編みを構成可能か？

主な発見

• 常に実現可能なホモトピー移動を用いた明示的アルゴリズムにより、任意の閉じた向き付け可能な4次元多様体上の不確定ファイブレーションは、ファイバー接続、方向付き、埋め込み的ラウンド像、連結なラウンド軌道を持つ単純化形に変換可能である。
• 本稿は、すべての4次元多様体上での単純化された破れたLefschetzファイブレーションおよびモース2関数の存在について、純粋位相的かつ構成的証明を提供する。
• 破れたLefschetzファイブレーションとGay–Kirbyの三つ編みとの間の対応関係を確立し、すべての4次元多様体上で単純化された三つ編みの構成を可能にする。
• 著者らは、複素射影平面の和集合 ℂℙ²#9ℂℙ² の同相型において、無限個の異種 (34,8)-三つ編みを構成し、また ℂℙ²#7ℂℙ² の同相型において、1つの異種 (20,4)-三つ編みを構成する。
• 本手法により、ホモトピー的に異なる全空間を持つ genus-3 三つ編みが得られ、安定化とハンドル体操作による異種三つ編みの新規構成が可能になる。
• 本稿は、任意のゼロホモロジーオブジェクト1次元多様体を、所定の局所モデルを持つ破れたLefschetzファイブレーションのラウンド軌道として実現し、重要な実現可能性条件を確認する。