[論文レビュー] Simply Connected Manifolds with Infinitely Many Toric Contact Structures and Constant Scalar Curvature Sasaki Metrics

Charles P. Boyer, Christina W. Tønnesen-Friedman|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、サスキー多様体のジョイン構成を用いて、単連結で奇数次元の多様体を構成し、リーマ型の非同値なトーリック接触構造を無限に持つことを示している。これらの多様体は定スカラー曲率（CSC）サスキー計量の放射を有し、$ l_2 $ が十分に大きい場合には、少なくとも3本のこのような放射が存在することを示しており、コホモロジー環が同型であっても微分同相型の有限性が見られるという稀な事実を示している。

ABSTRACT

We study a class of simply connected manifolds in all odd dimensions greater than 3 that exhibit an infinite number of toric contact structures of Reeb type that are inequivalent as contact structures. We compute the cohomology ring of our manifolds by using the join construction for Sasaki manifolds and show that all such contact structures admit a ray of compatible Sasaki metrics of constant scalar curvature (CSC). Furthermore, infinitely many such structures admit at least 3 rays of constant scalar curvature Sasaki metrics.

研究の動機と目的

• 単連結で奇数次元の多様体に、無限個の非同値なリーマ型トーリック接触構造を有するように構成すること。
• 同型なコホモロジー環を持つこれらの多様体が、微分同相型として有限個に限られるかどうかを特定すること。
• これらの多様体のサスキー・コンフリー内における定スカラー曲率（CSC）サスキー計量の放射の存在と数を分析すること。
• トーリック接触幾何とジョイン構成の文脈において、極値的およびCSCサスキー計量の理解を拡張すること。

提案手法

• ワング–ジラー多様体と重み付き球面 $ S^3_{f w} $ の積からサスキー多様体を構成するジョイン構成を用い、整数 $ l_1, l_2, w_1, w_2 $ でパラメータ化する。
• ジョインのファイブレーション構造に Leray–Serre 譜序列を適用することでコホモロジー環を計算し、特定の表示を得る：$ H^*(M, Z) \to \nZ[x,y]/(w_1w_2l_1^2x^2, x^{p+1}, x^2y, y^2) $。
• サスキー・コンフリーとその部分コンフリー、特に縮約された $ \bf w $-サスキー・コンフリー $ \tilde{\frak{t}}_{\bf w} $ を分析することで、CSCサスキー計量の存在を検討し、これが極値的サスキー計量によって完全に埋められることを示す。
• 極値条件から導かれる6次多項式 $ f(b) $ の根を分析することで、CSC放射の数を特定する。正の実根が複数存在することを確認するために、正の性質と判別式の基準を用いる。
• デカルトの符号法則と3次多項式因子 $ g(b) $ の判別式解析を適用し、3つの異なる正の実根が存在する条件を同定し、3本のCSC放射が存在することを示す。
• 固定された $ l_1, w_1, w_2 $ に対して、無限個の接触構造が存在するが、微分同相型は有限個に限られることを示すことで、位相的有限性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結で奇数次元の多様体は、同型なコホモロジー環を持つ無限個の非同値なリーマ型トーリック接触構造を有しうるか？
• RQ2 コホモロジー環がこれらの多様体の微分同相型を決定づけるのか、それとも同じ環をもつにもかかわらず無限個の異なる微分同相型が存在しうるのか？
• RQ3 1つのトーリック接触構造のサスキー・コンフリー内に、定スカラー曲率（CSC）サスキー計量の放射はいくつ存在しうるか？
• RQ4 サスキー・コンフリーにCSC計量の放射が1つより多く存在する条件は何か？また、それらの計量は正則か不規則か？
• RQ5 ジョイン構成により、非自明な位相的性質と複数のCSC放射を有する多様体が得られうるが、固定されたコホモロジー的データのもとで微分同相型は有限個に限られるのか？

主な発見

• 奇数次元 $ 2p+3 > 5 $ に対して、各々、同型なコホモロジー環 $ \nZ[x,y]/(w_1w_2l_1^2x^2, x^{p+1}, x^2y, y^2) $ を持つ可算無限個の単連結トーリック接触多様体 $ M_{l_1,l_2,\bf w} $ が存在するが、固定された $ l_1, w_1, w_2 $ に対しては微分同相型は有限個に限られる。
• 多様体は $ p+2 $ 次元のサスキー・コンフリーを持ち、その2次元部分コンフリー $ \tilde{\frak{t}}_{\bf w} $ は極値的サスキー計量によって完全に埋められる。
• 十分に大きな $ l_2 $ に対して、サスキー・コンフリーには少なくとも3本の定スカラー曲率（CSC）サスキー計量の放射が存在し、その多くは不規則である。
• $ p=1 $ の場合、$ w=(3,2), l_1=1 $ で $ l_2 \to 19 $ のとき、3次多項式因子 $ g(b) $ の判別式が正となり、1つの有理根と2つの無理根を持つ。これは1本の準正則および2本の不規則CSC放射に対応する。
• $ p \to 1,2,3,4 $ および $ l_2 \to 6,3,2,2 $ の場合、多様体 $ S^2 \times S^{2p+1} $ および $ S^2 \tilde{\times} S^{2p+1} $ は少なくとも2本のCSCサスキー計量の放射を有する。
• 7次元多様体 $ M^{1,1}_{{\bf k},{\bf l},{\bf w}} $ のコホモロジー環は $ \nZ[x,y,u,z]/(x^2, l_2xy, w_1w_2l_1^2y^2, z^2, u^2, zu, zx, ux, uy) $ であり、多様体は非形式的である可能性が高く、この一般化されたジョインの場合には有限性定理は適用されない。