[論文レビュー] Simulation of McKean Vlasov SDEs with super linear growth

Gonçalo dos Reis, Stefan Engelhardt+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、超線形のドリフト成長と確率的初期条件を伴う McKean-Vlasov SDE のシミュレーションのための明示的および暗黙的Eulerスキームを提案し、tamed Euler法と停止時刻技術を用いる。明示的スキームでは標準的な1/2の強収束率を確立し、パスごとの混沌の伝搬を証明する。数値実験により理論的収束率が確認され、粒子数が多い場合に粒子の破綻効果が顕在化する。

ABSTRACT

We present two fully probabilistic Euler schemes, one explicit and one implicit, for the simulation of McKean-Vlasov Stochastic Differential Equations (MV-SDEs) with drifts of super-linear growth and random initial condition. We provide a pathwise propagation of chaos result and show strong convergence for both schemes on the consequent particle system. The explicit scheme attains the standard $1/2$ rate in stepsize. From a technical point of view, we successfully use stopping times to prove the convergence of the implicit method although we avoid them altogether for the explicit one. The combination of particle interactions and random initial condition makes the proofs technically more involved. Numerical tests recover the theoretical convergence rates and illustrate a computational complexity advantage of the explicit over the implicit scheme. A comparative analysis is carried out on a stylized non-Lipschitz MV-SDE and a mean-field model for FitzHugh-Nagumo neurons. We provide numerical tests illustrating "particle corruption" effect where one single particle diverging can "corrupt" the whole particle system. Moreover, the more particles in the system the more likely this divergence is to occur.

研究の動機と目的

• 標準的なEuler法が失敗する超線形のドリフト成長を伴うMcKean-Vlasov SDEのための信頼性の高い数値スキームの開発を目的とする。
• 非リプシッツ係数と確率的初期条件を有する平均場SDEのシミュレーションの課題に対処すること。
• 相互作用粒子系の文脈において、明示的および暗黙的Euler型スキームの強収束性を確立すること。
• 非強制性または散逸性を仮定しない状況下で、超線形成長下における粒子系のパスごとの混沌の伝搬を証明すること。
• 粒子の破綻効果を数値的に調査すること。ここで、1つの発散する粒子が全体のシステムを不安定化させる可能性がある。

提案手法

• Hutzenthalerら（2012）およびLionnetら（2018）にインspiredされたtamed Eulerスキームを採用し、超線形のドリフト成長に対処する。
• 暗黙的スキームの収束を証明するために停止時刻と局所化技術を用いるが、明示的スキームでは単純化のためそれらを回避する。
• 粒子系の近似において、過程の法則をN個の相互作用粒子からの経験的測度で置き換える。
• 誤差項の制御のため、Grönwallの不等式とコーシー＝シュワルツの不等式を適用する。
• 爆発を防ぐために、taming機構を備えた修正された時間ステップスキームを導入する。
• モーメントの有界性とパスごとの推定を組み合わせ、真の解と数値近似との差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形のドリフトと確率的初期条件を伴うMcKean-Vlasov SDEに対して、明示的および暗黙的Eulerスキームを適応させ、強収束を達成できるか？
• RQ2 非強制性または散逸性を仮定しない状況下で、超線形成長下における粒子系がパスごとの混沌の伝搬を示すか？
• RQ3 粒子間相互作用と確率的初期データが存在する状況下で、明示的スキームの収束率は何か？
• RQ4 粒子の破綻効果はどのように現れ、システム内の粒子数に伴ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 暗黙的スキームは停止時刻に依存せずに安定性と収束性を維持できるか？また、明示的スキームと比較して計算的にどのように異なるか？

主な発見

• 明示的Eulerスキームは、超線形ドリフトを伴うMcKean-Vlasov SDEに対して、ステップサイズの標準的な強収束率1/2を達成する。
• 暗黙的スキームについても強収束性が確認され、停止時刻の議論とモーメント推定を用いて証明される。
• 非強制性または散逸性を仮定しない状況下でも、超線形成長下における粒子系に対してパスごとの混沌の伝搬が確立される。
• 数値実験により、非リプシッツなMV-SDEおよびFitzHugh-Nagumo平均場モデルにおいて、両スキームの理論的収束率が確認される。
• 実際の計算では、明示的スキームが暗黙的スキームよりも計算複雑性に優位性を示す。
• 粒子の破綻効果が観察された。1つの発散する粒子が全体のシステムを不安定化させる可能性があり、粒子数が増えるほどそのリスクが高まる。