[論文レビュー] Simulations of the adiabatic quantum optimization for the Set Partition Problem

Vadim Smelyanskiy, U. von Toussaint+1 more|ArXiv.org|Dec 22, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、時間に依存するシュレーディンガー方程式および定常シュレーディンガー方程式の数値シミュレーションを用いて、NP完全な集合分割問題（SPP）に対する断熱的量子最適化を調査している。エネルギー値の種類の数を減らすために対数スケールのコスト関数を導入し、アルゴリズムの複雑さが問題サイズに対して指数関数的に増加することを発見した。これは、他のNP完全問題に対する以前の結果とは矛盾する。

ABSTRACT

We analyze the complexity of the quantum optimization algorithm based on adiabatic evolution for the set partition problem. We introduce a cost function defined on a logarithmic scale of the partition residues so that the total number of values of the cost function is of the order of the problem size. We simulate the behavior of the algorithm by numerical solution of the time-dependent Schroedinger equation as well as the stationary equation for the adiabatic eigenvalues. The numerical results for the time-dependent quantum evolution indicate that the complexity of the algorithm scales exponentially with the problem size.This result appears to contradict the recent numerical results for complexity of quantum adiabatic algorithm applied to a different NP-complete problem (Farhi et al, Science 292, p.472 (2001)).

研究の動機と目的

• NP完全な集合分割問題（SPP）に対する断熱的量子最適化の複雑さを分析すること。
• 断熱的量子アルゴリズムが、いくつかのNP完全問題に対して予想されているように、SPPにおいて多項式時間の性能を達成できるかどうかを調査すること。
• エネルギー準位の配置、特に回避的クロスイングの分布がアルゴリズムの複雑さを決定するという仮説を検証すること。
• 分割の剰余に関する粗視化が、断熱的遷移のダイナミクスと複雑さに与える影響を調査すること。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式と定常シュレーディンガー方程式の両アプローチを用いて、SPPにおける断熱的遷移のダイナミクスを分析すること。

提案手法

• 問題のハミルトニアン $ H_P $ を用いてSPPを量子最適化問題として定式化し、分割の剰余エネルギー関数を符号化する。
• 問題サイズに比例する程度の異なるエネルギー値の数に制限するため、対数スケールのコスト関数を導入し、有効なヒルベルト空間の複雑さを低減する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式の数値的シミュレーションを実行し、断熱的遷移下での量子状態の時間発展を追跡する。
• 定常シュレーディンガー方程式を解いて、$ n \leq 10 $ の小規模な場合の断熱的固有値を計算し、回避的準位クロスイングを分析する。
• 摂動論を用いて、最小エネルギー間隔 $ \Delta g_{\text{min}} $ と行列要素 $ V_{0k} $ を用いて、非断熱遷移確率を推定する。
• 最終状態における確率分布 $ |\langle z|\psi(T)\rangle|^2 $ を分析し、異なるコスト関数値における局在化と構造の有無を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合分割問題に対する断熱的量子最適化は、問題サイズに伴い実行時間のスケーリングとして多項式的か指数的か？
• RQ2 対数スケールのコスト関数の選択が、エネルギー準位の配置とアルゴリズムの複雑さに与える影響は何か？
• RQ3 回避的クロスイングと最小エネルギー間隔が、断熱的アルゴリズムの実行時間複雑さを決定する役割を果たすか？
• RQ4 波動関数に構造が見られないことから、最小ギャップが小さいにもかかわらず、なぜアルゴリズムが効率的な性能を達成できないのか？
• RQ5 時間に依存するシュレーディンガー方程式と定常シュレーディンガー方程式の両アプローチの結果は、SPPにおける断熱的遷移のダイナミクスをどの程度正しく捉えているか？

主な発見

• 時間に依存するシュレーディンガー方程式の数値的シミュレーションにより、集合分割問題に対する断熱的量子最適化アルゴリズムの複雑さが、問題サイズ $ n $ に対して指数関数的に増加することが示された。
• 問題サイズ $ n $ が11から17の間で、中央値の実行時間複雑さは指数関数的関数に適合し、最小二乗法によるフィットでは明確な指数的増加が確認された。
• 確率分布 $ |\langle z|\psi(T)\rangle|^2 $ は、異なるコスト関数値に対応する明確な「段階」を形成しており、各段階内には内部構造が見られなかった。
• 同じコスト関数値を持つ状態において波動関数に細かい構造がないことが、指数的複雑さの主な要因であると特定された。
• $ n=10 $ の場合、定常シュレーディンガー方程式の解析により、複数の励起状態が関与する複雑な回避的クロスイング構造が明らかになった。これは標準的な二準位モデルとは逸脱している。
• 基底状態と関連する励起状態の間の最小ギャップは、他の励起状態間の分離と比較して顕著に大きく、回避的クロスイング領域に非自明な多体効果が存在することを示唆している。