[論文レビュー] Simultaneous Deformations of Lie Algebroids and Lie Subalgebroids

Xiang Ji|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リー代数群およびそのリー部分代数群の変形をそれぞれ支配する2つの$L_{\infty}$-代数を構成し、それらを統合して同時に起こる変形を制御する1つの$L_{\infty}$-代数に統合する。主な貢献は、高次導来括弧とモーラー＝カルタン要素を用いたリー代数群およびその部分代数群の統一的変形理論の構築であり、これは古典的なリー代数の変形理論を一般化し、ファイブレーション、複素構造、およびリー代数群準同型への応用を含む。

ABSTRACT

The $L_\infty$-algebra is an algebraic structure suitable for describing deformation problems. In this paper we construct one $L_\infty$-algebra, which turns out to be a differential graded Lie algebra, to control the deformations of Lie algebroids and a second one to control the deformations of Lie subalgebroids. We also combine these two $L_\infty$-algebras into one to control the simultaneous deformations of a Lie algebroid and its Lie subalgebroids. The results generalize the deformation theory of Lie algebra and Lie subalgebras. Applications of our results include deformations of foliations, deformations of complex structures and deformations of homomorphisms of Lie algebroids.

研究の動機と目的

• リー代数群の変形理論を$L_{\infty}$-代数を用いて構築し、古典的なDGLA手法を一般化すること。
• 与えられたリー代数群内のリー部分代数群の変形を支配する別個の$L_{\infty}$-代数を構築すること。
• 両方の変形問題を、同時に起こる変形を制御する1つの$L_{\infty}$-代数枠組みに統合すること。
• この枠組みを、ファイブレーション、複素部分多様体、リー代数群準同型などの幾何的構造に応用すること。
• 超幾何的および導来括弧の技法を用いて、リー代数準同型の変形に関する既知の結果を回復・拡張すること。

提案手法

• T. ヴォロノフの方法に従い、順位付きベクトル空間上の高次導来括弧を用いて$L_{\infty}$-代数を構成する。
• $\mathfrak{X}((A\oplus B)[1])$ 上に微分付きリー代数（DGLA）を定義し、モーラー＝カルタン方程式を用いてリー代数群の変形を支配する。
• 同じ枠組みを正規バンドル$NS$および部分バンドル$E = \operatorname{gr}(\Psi)$に適用し、リー部分代数群の変形を制御する。
• V代数構造と平坦な$L_{\infty}[1]$-代数$\mathfrak{a}_{X_Q}^P$を導入し、準同型の変形データを符号化する。
• リー代数群準同型を$A \oplus B$内のグラフとして見なすことで、問題を部分代数群の変形に還元する。
• 構築された$L_{\infty}$-代数における変形とモーラー＝カルタン要素の対応を用いて、変形の同値類を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数群の変形理論はどのように$L_{\infty}$-代数を用いて定式化できるか？
• RQ2 固定されたリー代数群内におけるリー部分代数群の変形を支配する$L_{\infty}$-代数的構造は何か？
• RQ3 リー代数群とそのリー部分代数群の同時変形は、代数的にどのように制御できるか？
• RQ4 この枠組みは、ファイブレーションや複素構造といった古典的幾何的変形問題に応用可能か？
• RQ5 リー代数群準同型の変形は、その源、対象、および準同型自体の同時変形とどのように関係するか？

主な発見

• リー代数群の変形を支配する$L_{\infty}$-代数は、微分付きリー代数と同型であり、一般の$L_{\infty}$-代数に比べて構造が簡略化される。
• リー部分代数群$E \subset A$の変形は、正規バンドルと包含のグラフから構成された平坦な$L_{\infty}[1]$-代数$\mathfrak{a}_{X_Q}^P$によって支配される。
• バンドル写像$\tilde{\Psi}: A \to B$がリー代数群準同型$\Psi$の変形であるための必要十分条件は、関連するベクトル場$X_{\sigma,\phi} = h(\tilde{\Psi})$が$\mathfrak{a}_{X_Q}^P$におけるモーラー＝カルタン要素であることである。
• リー代数群$A$、$B$の構造および準同型$\Psi: A \to B$の同時変形は、$L_{\infty}[1]$-代数$((\mathfrak{X}(A\oplus B)[1])[1] \oplus \mathfrak{a})_{X_Q}^{P_{I(X_{\sigma,\phi})}}$によって支配される。
• $X_Q^2$が正規バンドルのファイバーに沿って解析的であるとき、$L_{\infty}[1]$-代数$\mathfrak{a}_{X_Q}^P$はリー代数群準同型$\Psi$の変形を支配する。
• 結果は[22]におけるリー代数準同型の変形理論を回復・一般化し、代数群がリー代数に退化する特殊ケースにおいても一貫性を示している。