[論文レビュー] Simultaneous desingularizations of Calabi-Yau and special Lagrangian 3-folds with conical singularities

Yat-Ming Chan|ArXiv.org|Jun 16, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、各特異点に漸近的に錐型（AC）なカルビ・ヤウ 3-fold および AC 特殊ラグランジュ 3-fold を接着することで、特異点を有するカルビ・ヤウ 3-fold 及びその特別なラグランジュ 3-fold の同時特異点除去を提示する。ジョイスの解析的変形定理を用いて、特異点のないコンパクトなラグランジュ 3-fold が、desingularized カルビ・ヤウ多様体上に構成され、特に $T^3$ の実的ブロー・アップおよび $T^6/\mathbb{Z}_3$ の正則解消における $S^1 \times S^2$ との連結和の例が示される。主な貢献は、複素構造およびラグランジュ構造を両方保存する統一的な特異点除去フレームワークの確立である。

ABSTRACT

This paper is a follow-up to an earlier paper math.DG/0410260 on desingularizations of Calabi-Yau 3-folds with a conical singularity. In math.DG/0410260 we study Calabi-Yau 3-folds M_0 with a conical singularity at x modelled on some Calabi-Yau cone V, and construct a desingularization of M_0 by gluing in an Asymptotically Conical (AC) Calabi-Yau 3-fold Y to M_0 at x. In this paper, we shall investigate a similar desingularization problem on special Lagrangian (SL) 3-folds in the corresponding Calabi-Yau 3-folds. More precisely, suppose M_0 is now a Calabi-Yau 3-fold with finitely many conical singularities at x_i modelled on Calabi-Yau cones V_i for i=1,...,n, and N_0 an SL 3-fold in M_0 with conical singularities at the same points x_i modelled on SL cones C_i in V_i. Let Y_i be an AC Calabi-Yau 3-fold modelled on the Calabi-Yau cones V_i, and L_i an AC SL 3-fold in Y_i modelled on the SL cones C_i. We then simultaneously desingularize M_0 and N_0 by gluing in rescaled Y_i and L_i at each x_i. The construction is achieved by applying Joyce's analytic result [16, Thm. 5.3] on deforming Lagrangian submanifolds to nearby special Lagrangian submanifolds. As an application, we take M_0 to be the orbifold T^6/\mathbb{Z}_3 and construct some singular SL 3-folds N_0 in M_0 and AC SL 3-folds L_i in the corresponding Y_i, and glue them together to obtain examples of nonsingular SL 3-folds in the desingularized Calabi-Yau 3-folds.

研究の動機と目的

• カルビ・ヤウ 3-fold 及びその埋め込まれた特別なラグランジュ 3-fold に錐型特異点を有する場合の、同時に特異点を除去する手続きを開発すること。
• 既存のカルビ・ヤウ特異点除去結果を、関連する特別なラグランジュ部分多様体の特異点除去に拡張すること。
• 特に $T^6/\mathbb{Z}_3$ の正則解消において、特異点のないコンパクトな特別なラグランジュ 3-fold の明示的例を構成すること。
• ジョイスの変形定理が、接着構成から生じるほぼカルビ・ヤウ構造におけるラグランジュ部分多様体に適用可能かどうかを検証すること。

提案手法

• 特異点を有するカルビ・ヤウ 3-fold $M_0$ と、点 $x_i$ で錐型特異点を有する、スケーリングされた漸近的に錐型（AC）カルビ・ヤウ 3-fold $Y_i$ を、[7] の構成法に従って、周囲空間に接着する。
• 同じ特異点 $x_i$ において、$M_0$ 内の特異的特別ラグランジュ 3-fold $N_0$ に、AC 特別ラグランジュ 3-fold $L_i$ を同時に接着し、ラグランジュ条件を保存する。
• 各 $x_i$ に $L_i$ を接着することで、ほぼカルビ・ヤウ 3-fold $(M_t, \omega_t, \Omega_t)$ 上のラグランジュ 3-fold $N_t$ の1パラメータ族を構成する。
• ジョイスの解析的結果 [16, Thm. 5.3] を適用し、$N_t$ を $M_t$ 上の真のカルビ・ヤウ構造におけるコンパクトで特異点のない特別なラグランジュ 3-fold に変形する。
• 座標微同相写像 $\psi_t$ を用いて、カルビ・ヤウ構造を引き戻し、新しいほぼ複素構造において $N_t$ がラグランジュのままであるようにする。
• $N_t$ の3つの領域で $\text{Im}(\hat{\Omega}_t)|_{N_t}$ の大きさを推定し、ジョイスの定理の仮定を検証する。特に、無限遠および接着領域における減衰率に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルビ・ヤウ 3-fold 及びその埋め込まれた特別なラグランジュ 3-fold に錐型特異点を有する場合、一貫した接着手続きにより同時に特異点を除去できるか？
• RQ2 AC カルビ・ヤウ多様体および AC 特別ラグランジュ 3-fold の漸近的レートにどのような条件を課すと、特異点のない特別なラグランジュ 3-fold への滑らかな変形が存在するか？
• RQ3 SYZ予想の枠組みは、正則解消されたカルビ・ヤウ 3-fold における特異点のない特別なラグランジュ 3-fold の明示的構成によってどのように実現できるか？
• RQ4 $T^6/\mathbb{Z}_3$ を AC 特別ラグランジュ 3-fold を用いて特異点除去する際、$K_{\mathbb{C}\mathbb{P}^2}$ 内の $K_{\mathbb{R}\mathbb{P}^2}$ 型の AC 特別ラグランジュ 3-fold を用いて得られる、特異点のない特別なラグランジュ 3-fold の位相的型は何か？

主な発見

• 特異点を有する $M_0 = T^6/\mathbb{Z}_3$ 及びその特別なラグランジュ 3-fold $N_0$ は、特異点 $0$ に AC カルビ・ヤウ 3-fold $Y_i$ および AC 特別ラグランジュ 3-fold $L_i$ を接着することで同時に特異点除去され、$T^6/\mathbb{Z}_3$ の正則解消と微分同相な特異点のないカルビ・ヤウ 3-fold が得られる。
• 特別なラグランジュ 3-fold は、$K_{\mathbb{R}\mathbb{P}^2}$（レート $\kappa \in (-5, -3/2)$）を $N_0$ に接着することで構成され、これは $T^3 \# \mathbb{R}\mathbb{P}^3$ と位相的に同相な 3-fold である。
• 別の構成により、レート $\kappa = -2$ の $S^2 \times \mathbb{R}$ 型 AC 特別ラグランジュ 3-fold を、2つの特異点を有する $T^3$ の被覆に接着することで、$T^3 \# (S^1 \times S^2)$ と微分同相な特異点のない特別なラグランジュ 3-fold が得られる。
• 構成された特別なラグランジュ 3-fold の族には、$T^3 \# \mathbb{R}\mathbb{P}^3$ の例の変形が含まれており、そのうちの1つの族は $K_{\mathbb{R}\mathbb{P}^2}$ 基盤の構成の二重被覆として得られる。
• ジョイスの定理 [16, Thm. 5.3] に基づく解析的枠組みが成功裏に適用され、接着領域および漸近的端点において $\text{Im}(\hat{\Omega}_t)|_{N_t}$ に必要な推定が確認された。
• この構成により、特異点除去プロセスが特別ラグランジュ条件を保存し、正則解消されたカルビ・ヤウ 3-fold 内にコンパクトで特異点のない特別なラグランジュ 3-fold を得られることを確認した。これは、SYZ予想に関連する具体的な例を提供する。