[論文レビュー] Simultaneous Ruin Probability for Two-Dimensional Brownian and Lévy Risk Models

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2018

Probability and Risk Models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、相関する Browmian 動作を有する2次元 Browmian リスクモデルにおいて、大規模な初期資本を想定したもとで、同時破産確率および破産時刻の漸近的近似を展開する。自己相似性と極値理論を用いて、初期資本が無限大に近づく際の尾部挙動について明示的な公式を導出する。特に完全相関（ρ = 1）の場合を重点的に取り上げ、線形に依存するスペクトル的に正の Lévy 確率過程（Browmian 動作やガンマ過程など）に対し、取り扱いやすい解を得ることが可能となる。

ABSTRACT

The ruin probability in the classical Brownian risk model can be explicitly calculated for both finite and infinite-time horizon. This is not the case for the simultaneous ruin probability in two-dimensional Brownian risk model. Resorting on asymptotic theory, we derive in this contribution approximations of both simultaneous ruin probability and simultaneous ruin time for the two-dimensional Brownian risk model when the initial capital increases to infinity. Given the interest in proportional reinsurance, we consider in some details the case where the correlation is 1. This model is tractable allowing for explicit formulas for the simultaneous ruin probability for linearly dependent spectrally positive Lévy processes. Examples include perturbed Brownian and gamma Lévy processes.

研究の動機と目的

• 2つのポートフォリオが Browmian 動作によって相関する2次元 Browmian リスクモデルにおける同時破産確率を分析すること。
• 初期資本 u が無限大に近づく際の同時破産確率の漸近的近似を導出すること。
• 破産時刻の同時分布への拡張を行い、その尾部挙動の近似を提供すること。
• 完全相関（ρ = 1）の取り扱いやすいケースにおいて、線形に依存するスペクトル的に正の Lévy 確率過程に対して明示的な公式が得られることを調査すること。
• 依存関係下での共同破産を分析することで、比例再保険モデルの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• Browmian 動作の自己相似性を用いて時間区間を [0,1] に縮小し、パラメータを正規化する。
• 極値理論と漸近的解析を適用し、2つの相関する Browmian 動作が線形境界を超える同時尾部確率を近似する。
• 時間変換付き Browmian 動作に基づく変換と反射原理を用いて、境界と近似を導出する。
• ラプラス変換法と積分表現を用いて、破産確率の漸近的挙動を計算する。
• 線形依存性により2変数問題を1変数問題に還元することで、ρ = 1 の場合の明示的公式を導出する。
• ガウス過程の極値に関する結果（Gordon の不等式および最初の通過時刻の理論）を用いて、相関する過程を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期資本 u が無限大に近づく際、2次元 Browmian リスクモデルにおける同時破産確率の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 2つのポートフォリオ間の相関 ρ が共同破産確率に与える影響は何か。特に ρ = 1 の場合に注目する。
• RQ3 2つのリスク過程が線形に依存し、スペクトル的に正である場合、同時破産確率に対して明示的公式を導出可能か？
• RQ4 2次元モデルにおける同時破産時刻の漸近的分布は何か？
• RQ5 保険料率 c₁ および c₂ と初期資本水準が、大偏差領域における共同破産確率に与える影響は何か？

主な発見

• ρ = 1 の場合、線形依存性により2変数問題が1変数問題に還元され、同時破産確率に対して明示的公式が得られる。
• a < ρ の場合、同時破産確率の漸近的近似は 2√(2π(1−ρ²)) exp((c₂−ρc₁)²/(2(1−ρ²))) で与えられ、これはラプラス変換積分から導出される。
• a = ρ の場合、漸近的近似には標準正規分布関数 Φ が含まれる： 2√(2π(1−ρ²)) exp((c₂−ρc₁)²/(2(1−ρ²))) Φ((c₁ρ−c₂)/√(1−ρ²))。
• 同時破産時刻 τ_sim(u) は、P(u²(1−τ_sim(u)) > x | τ_sim(u) ≤ 1) → 1 (u → ∞) を満たし、破産は高確率で時刻1付近に発生することが示される。
• 自己相似性と時間スケーリングを用いて破産確率の上界および下界を導出し、きわめてタイトな漸近的制御が得られる。
• 結果は、ρ = 1 の仮定の下で、線形に依存するスペクトル的に正の Lévy 確率過程（Browmian 動作やガンマ過程など）へと拡張可能である。