[論文レビュー] Single and Double Generator Bracket Formulations of Geophysical Fluids with Irreversible Processes

Christopher Eldred, François Gay–Balmaz|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、粘性散逸、熱伝導、相変化などの不可逆的過程を組み込んだ、地球物理学的流体力学における1発生子および2発生子ブラケット形式の体系的で変分的基礎を提示する。熱力学的変位を用いた熱力学的に整合性のある変分原理からこれらのブラケット構造を導出することにより、第一法則および第二法則が自動的に満たされ、従来の形式が統合され、多成分・多相・完全圧縮性流体のメトリプレクティック（GENERIC）系の構成的導出が可能になる。

ABSTRACT

The equations of reversible (inviscid, adiabatic) fluid dynamics have a well-known variational formulation based on Hamilton's principle and the Lagrangian, to which is associated a Hamiltonian formulation that involves a Poisson bracket structure. These variational and bracket structures underlie many of the most basic principles that we know about geophysical fluid flows, such as conservation laws. However, real geophysical flows also include irreversible processes, such as viscous dissipation, heat conduction, diffusion and phase changes. Recent work has demonstrated that the variational formulation can be extended to include irreversible processes and non-equilibrium thermodynamics, through the new concept of thermodynamic displacement. By design, and in accordance with fundamental physical principles, the resulting equations automatically satisfy the first and second law of thermodynamics. Irreversible processes can also be incorporated into the bracket structure through the addition of a dissipation bracket. This gives what are known as the single and double generator bracket formulations, which are the natural generalizations of the Hamiltonian formulation to include irreversible dynamics. Here the variational formulation for irreversible processes is shown to underlie these bracket formulations for fully compressible, multicomponent, multiphase geophysical fluids with a single temperature and velocity. Many previous results in the literature are demonstrated to be special cases of this approach. Finally, some limitations of the current approach (especially with regards to precipitation and nonlocal processes such as convection) are discussed, and future directions of research to overcome them are outlined.

研究の動機と目的

• 不可逆的過程を含む地球物理学的流体の1発生子および2発生子ブラケット形式を、第一原理から体系的に導出すること。
• 不可逆熱力学を組み込んだ共通の変分原理の下で、既存のブラケット形式（例：GENERIC、1発生子）を統一すること。
• 熱力学的変位の使用により、導出された方程式が第一および第二法則を自動的に満たすように保証すること。
• 多成分・多相・圧縮性の動的を有する複雑な現実の地球物理学的流体に、ハミルトニアンに類似したブラケット構造を適用可能にする。
• 現在の形式における限界、特に単一温度・速度仮定および対流や降雨などの微小スケール過程の取り扱いに関する問題を特定し、それらを解決すること。

提案手法

• 熱力学的変位を用いて、不可逆的過程に拡張されたハミルトンの原理に基づく変分形式を採用し、第一および第二法則に準拠すること。
• 変分系からラグランジュ変数から運動量に基づく変数へ移行するために、ラプラス変換を適用し、ハミルトニアンブラケット形式を可能にする。
• 可逆的力学のポissonブラケットと不可逆的過程の散逸ブラケットを組み合わせることで、1発生子ブラケットを体系的に導出する。
• 対称的かつ正定値の散逸ブラケットを指定することで、2発生子（メトリプレクティック／GENERIC）ブラケットを構築し、カシミール不変量を保存するとともにエントロピー生成を保証する。
• 速度勾配、温度勾配、化学ポテンシャル勾配といった熱力学的力に基づいて、粘性応力、熱フラックス、拡散フラックスをパラメータ化する。線形および非線形形態を検討する。
• 導出された方程式が、既存のブラケット形式（例：[5, 29, 55]）と等価であることを示すことで、単成分および多成分流体の既知の運動方程式が再現されることを実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 地球物理学的流体の1発生子および2発生子ブラケット形式は、不可逆的過程を含む変分原理から体系的に導出可能か？
• RQ2 熱力学的変位を用いることで、導出された方程式が第一および第二法則を満たすように保証できるか？
• RQ3 多成分・多相・圧縮性流体の文脈において、変分形式と既存のブラケット形式（GENERIC、1発生子ブラケット）との関係は何か？
• RQ4 すべての流体成分に共通の温度および速度を仮定するという仮定が、現在のフレームワークに与える制限は何か。今後の研究でどのように緩和できるか？
• RQ5 現在の瞬間的散逸モデルを超えて、対流や降雨などの微小スケール過程をブラケット形式に組み込むにはどうすればよいか？

主な発見

• 熱力学的変位を用いた変分形式は、不可逆的地球物理学的流体の1発生子および2発生子ブラケット形式を、構成的かつ第一原理的に導出可能である。
• 導出されたブラケット系は、フラックスと力の適切なパラメータ化により、第一および第二法則を自動的に満たし、エントロピー生成が非負であることが保証される。
• 本フレームワークは、単成分流体のナビエ＝ストークス＝フォアラー方程式や、熱力学的フラックスを微小スケール乱流パラメータ化と解釈した場合に[29]の式が再現されることを再現する。
• フラックスが力に対して線形に依存する場合、2発生子（メトリプレクティック）形式が体系的に導出され、カシミール不変量と対称的散逸を有するGENERICに類似した構造が得られる。
• 現在のアプローチは、すべての成分に共通の温度および速度、および物質的に閉じた系を仮定しており、降雨や非局所的プロセス（例：対流）の取り扱いに制限がある。
• 今後の研究では、複数の温度および速度、開放境界、化学反応、放射、SALT や渦拡散係数質量フラックスといった高度な微小スケールモデルを含める予定であり、記憶効果および非局所的プロセスの取り扱いが可能になる。