[論文レビュー] Singular Hochschild Cohomology and Gerstenhaber Algebra Structure

Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、包絡代数の特異的カテゴリにおける準同型として特異 Hochschild コホモロジーを導入し、Gerstenhaber代数構造が備わっていることを証明する。対称代数の場合、さらに Batalin-Vilkovisky (BV) 代数構造が成立し、古典的な Hochschild コホモロジーの結果を特異的および負の次数へ一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we define the singular Hochschild cohomology groups $HH_{sg}^i(A, A)$ of an associative $k$-algebra $A$ as morphisms from $A$ to $A[i]$ in the singular category $D_{sg}(A\otimes_k A^{op})$ for $i\in \mathbb{Z}$. We prove that $HH_{sg}^*(A, A)$ has a Gerstenhaber algebra structure and in the case of a symmetric algebra $A$, $HH_{sg}^*(A, A)$ is a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra.

研究の動機と目的

• 包絡代数の特異的カテゴリにおける準同型として特異 Hochschild コホモロジー群を定義すること。
• 任意の射影的 $k$-加群上の結合的代数に対して、特異 Hochschild コホモロジーに Gerstenhaber代数構造が存在することを確立すること。
• 対称代数の場合、特異 Hochschild コホモロジーが Batalin-Vilkovisky (BV) 代数構造を備えていることを証明すること。
• 自己同型的の場合に、特異 Hochschild コホモロジーが Tate コホモロジーおよび安定コホモロジーとどのように関係するかを明らかにすること。
• Connes の $B$-作用素と $\Delta$-作用素を用いて、BV 構造を負の次数およびゼロ次元成分へ拡張すること。

提案手法

• 任意の $i \in \mathbb{Z}$ に対して、$\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{i}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A) := \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits_{\mathcal{D}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A\otimes_k A^{\mathop{\mathrm{op}}\nolimits})}(A, A[i])$ として特異 Hochschild コホモロジーを定義する。
• 有界導来カテゴリから完全複体を除いた Verdier商として、特異的カテゴリ $\mathcal{D}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A\otimes_k A^{\mathop{\mathrm{op}}\nolimits})$ を用いる。
• 特異的カテゴリにおける Yoneda 結合を用いて、Gerstenhaber ブラケットとカップ積を構成する。
• 対称代数の場合、負の次数では $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ を Connes の $B$-作用素として、正の次数では $\Delta$-作用素として定義し、ゼロ次元では消えるものとする。
• ブラケットと $\mu^*$-写像を含む主要な図式の可換性を証明し、BV 公理の整合性を検証する。
• 公式 $\{f, \alpha\} = (-1)^m \Delta(f) \cap \alpha + f \cap B(\alpha)$ を用いて、BV 構造の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異 Hochschild コホモロジーは Gerstenhaber 代数構造を備えているか？
• RQ2 Hochschild コホモロジーにおける BV 代数構造は、対称代数の特異的コホモロジーへ拡張可能か？
• RQ3 自己同型的代数の場合、特異 Hochschild コホモロジーは Tate コホモロジーおよび安定コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ 作用素は負の次数、ゼロ次元、正の次数成分でそれぞれどのように振る舞うか？
• RQ5 代数 $A$ が対称的であるとき、特異 Hochschild コホモロジーは BV 代数であるか。また、BV 作用素はどのように実現されるか？

主な発見

• 任意の $k$-代数 $A$ が $k$ 上で射影的であるとき、特異 Hochschild コホモロジー $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{*}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ は Gerstenhaber 代数である。
• 対称代数の場合、$\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{*}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ は $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ が負の次数では Connes の $B$-作用素、正の次数では $\Delta$-作用素として定義される Batalin-Vilkovisky 代数である。
• $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ は $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{0}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ で消えるため、BV 公理との整合性が保証される。
• 自己同型的代数では、特異 Hochschild コホモロジーは Tate-Hochschild コホモロジーおよび安定 Hochschild コホモロジーと一致する。
• 循環コホモロジー $\mathop{\mathrm{HC}}\nolimits_{*}(A,A)$ は下位次数 2 の可換 Lie 代数であり、$\mathop{\mathrm{HC}}\nolimits_{*}(A,A)[-1]$ は BV 構造から誘導される Lie ブラケットを備える。
• ブラケット $\{f, \alpha\}$ は $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{-1}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ に値をとり、$\mu^*$ による像は消えるため、BV 構造が確認される。