[論文レビュー] Singular invariants and coefficients of weak harmonic Maass forms of weight 5/2

Nickolas Andersen|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

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ひとこと要約

この論文は、全モジュラー群上の重さ 5/2 の弱ホロモーフィックマース形式の係数が、特異不変量のトレースとして与えられることを確立している—すなわち、虚二次体の特異モジュラー不変量と、実二次体の地図に沿った geodesic 上での j 関数のサイクル積分である。これはブルンイエール–オノ（分割関数に関する）およびデューク–イマモグル–トーティの結果を統一・拡張し、これらの係数が CM 点における非正則モジュラー関数の算術的トレース、あるいはそれらの実二次体版から生じることを示している。

ABSTRACT

We study the coefficients of a natural basis for the space of weak harmonic Maass forms of weight $5/2$ on the full modular group. The non-holomorphic part of the first element of this infinite basis encodes the values of the partition function $p(n)$. We show that the coefficients of these harmonic Maass forms are given by traces of singular invariants. These are values of non-holomorphic modular functions at CM points or their real quadratic analogues: cycle integrals of such functions along geodesics on the modular curve. The real quadratic case relates to recent work of Duke, Imamoglu, and Tóth on cycle integrals of the $j$-function, while the imaginary quadratic case recovers the algebraic formula of Bruinier and Ono for the partition function.

研究の動機と目的

• 重さ 5/2 のモックモジュラー形式の係数の算術的性質を理解すること。ただし、そのシャドウは弱正則モジュラー形式である。
• ハーモニックマース形式の係数と特異モジュラー不変量の既知の関係を、サイクル積分を通じて実二次体の類似物にまで拡張すること。
• ブルンイエール–オノの分割関数の代数的公式とデューク–イマモグル–トーティのサイクル積分公式を、一つの枠組みで統合すること。
• SL₂(ℤ) 上の重さ 5/2 の弱ホロモーフィックマース形式の空間における自然な基底の係数を完全に特徴付けること。

提案手法

• SL₂(ℤ) 上の重さ 5/2 の弱ホロモーフィックマース形式の空間に自然な基底を構成し、その非正則部分が分割関数 p(n) を符号化している。
• 微分作用素 ξₖ を用いて、正則部分（モックモジュラー形式）とそのシャドウ（重さ -1/2 の弱正則モジュラー形式）を関連付ける。
• 一般化された類数文字 χ_D と安定化子の位数 w_Q を用いたトレース公式を適用し、二次形式の同値類にわたる重み付き和として係数を表現する。
• ポincare級数と修正ベッセル関数の理論を用いて、上半平面内の geodesic 上での j 関数のサイクル積分による係数の明示的公式を導出する。
• K-ベッセル関数と半整数重みのモジュラー形式を用いて、L 関数の特別値と係数との関係を確立する。
• 正則化技術と解析接続を適用し、dD が完全平方である場合の発散するサイクル積分を処理し、先行研究の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL₂(ℤ) 上の重さ 5/2 の弱ホロモーフィックマース形式の係数は、特異モジュラー不変量やサイクル積分といった算術的不変量とどのように関係しているか？
• RQ2 虚二次体の場合に、分割関数 p(n) の代数的公式が特異不変量のトレースとして回復可能か？
• RQ3 モジュラー曲面上の geodesic 上での j 関数のサイクル積分は、実二次体の場合のハーモニックマース形式の係数とどのように関係しているか？
• RQ4 虚二次と実二次の両方の寄与を含む、重さ 5/2 のハーモニックマース形式の基底における係数の統一的算術的解釈は何か？
• RQ5 dD が平方数である場合に発散するサイクル積分は、どのように正則化され、基底における意味のある係数をもたらすか？

主な発見

• 自然基底の最初の要素の係数は、分割関数 p(n) の値に等しく、その形式の非正則部分に符号化されている。
• 負の判別式の場合、係数は特異モジュラー不変量のトレースである—正定値二次形式に関連する CM 点 τ_Q における代数的整数 J(τ_Q) の値。
• 正の判別式の場合、係数は、不定二次形式に対応するモジュラー曲面上の閉じた geodesic 上での j 関数のサイクル積分の重み付き和として与えられる。
• 本論文は、ブルンイエール–オノの公式（虚二次体）とデューク–イマモグル–トーティの公式（実二次体）を統合する明示的公式を提供し、同じ背後にあるトレース構造を持つ。
• dD が完全平方であっても、正則化を通じて有効な K-ベッセル関数と一般化された類数文字を用いたトレース公式により、係数が表現可能である。
• 本手法により、係数が CM 点またはそれらの実二次体版における非正則モジュラー関数の算術的トレースから生じることを示し、モックモジュラー形式と算術的幾何学との間の橋渡しを完成させた。